(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 2} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(8\pi \). Tìm bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( T \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\).

(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba mặt phẳng \((P):x + y + z + 5 = 0\); \((Q):x + y + z + 1 = 0\) và \((R):x + y + z + 2 = 0\). Úng với mỗi cặp điểm \(A,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \((P),(Q)\) thì mặt cầu đường kinh \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \((R)\) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) có bán kính bằng \(4\) và mặt cầu

\(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) có bán kính bằng 2. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng

(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 16;\left( {{S_2}} \right):{(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) và \(I\) là tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\). Xét điểm \(M(a;b;c)\) di động trên \((P)\) sao cho \(IM\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\), khi \(AM\) ngắn nhất thì \(a + b + c\) bằng

(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;3} \right)\) và \(B\left( {2; – 3; – 5} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 14 = 0\). Gọi \(M,\,\,N\) là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) có dạng \(\sqrt {a – b\sqrt c } \) (\(a,b,c \in \mathbb{N}\) và \(c\) là số nguyên tố). Tính \(a + b + c\)

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {1;4; – 2} \right)\). Xét điểm \(N\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó điểm \(N\) luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là:

(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 25\) và hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có phương trình \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + mt}\\{y = – 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = – 1}\\{z = 1 – mt}\end{array}} \right.\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt mặt cầu \((S)\) tại 4 điểm phân biệt sao cho bốn điểm đó tạo thành tứ giác có diện tích lớn nhất

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) với \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 9\left( {ab + 2bc + ca} \right)\) và \(Q = \frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} – \frac{1}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}\) có giá trị lớn nhất. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên các tia \(Ox,Oy,Oz\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là

(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x – 2y + 2z – 11 = 0\) và điểm \(I\left( { – 3;3;1} \right).\)Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm là điểm \(I\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi .\) Phương trình của mặt cầu \(\left( S \right)\) là

(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;2;3),B\left( {0;1;0} \right),C(1;0; – 2)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z + 2 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên \((P)\) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a – b + 9c\) bằng