Câu hỏi:
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 5\) và điểm \(M\left( {1;4; – 2} \right)\). Xét điểm \(N\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó điểm \(N\) luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là:
A. \(2x + y + z + 2 = 0\).
B. \(x + y + z + 1 = 0\).
C. \(2x + y + 2z + 2 = 0\).
D. \(2x + y + 2z – 2 = 0\).
Lời giải:
Chọn C
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { – 1;3; – 4} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 5 \)
Từ tính chất tiếp tuyến ta có \(M{N^2} = M{I^2} – {R^2} = 9 – 5 = 4 \Rightarrow MN = 2\), do đó \(N\) thuộc mặt cầu tâm \(M\left( {1;4; – 2} \right)\), bán kính \(R = 2\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 8y + 4z + 17 = 0\left( 1 \right)\).
\(N\) thuộc \(\left( S \right)\) viết dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 6y + 8z + 21 = 0\left( 2 \right)\).
Trừ các vế (1) cho (2) và rút gọn ta được: \(2x + y + 2z + 2 = 0\).
Vậy điểm \(N\)luôn nằm trên mặt phẳng có phương trình là: \(2x + y + 2z + 2 = 0\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời