(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {a;b;c} \right)\) với \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 9\left( {ab + 2bc + ca} \right)\) và \(Q = \frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} – \frac{1}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}\) có giá trị lớn nhất. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên các tia \(Ox,Oy,Oz\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là

Câu hỏi:

A. \(3x + 12y + 12z – 1 = 0\).

B. \(x + 4y + 4z – 12 = 0\).

C. \(3x + 12y + 12z + 1 = 0\).

D. \(x + 4y + 4z = 0\).

Lời giải:

Chọn A

Đặt \(t = b + c\,\,\left( {t > 0} \right);\,\,{b^2} + {c^2} \ge \frac{{{t^2}}}{2}\,;\,\,bc \le \frac{{{t^2}}}{4}\).

\(5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 9\left( {ab + 2bc + ca} \right) \Leftrightarrow 5{a^2} + 5{\left( {b + c} \right)^2} – 9a\left( {b + c} \right) = 28bc\)

\( \Rightarrow 5{a^2} + 5{t^2} – 9at \le 7{t^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {5a + t} \right)\left( {a – 2t} \right) \le 0 \Leftrightarrow a \le 2t\).

Vậy \(Q \le \frac{4}{t} – \frac{1}{{27{t^3}}} = f\left( t \right)\) với \(t > 0\).

Ta có \(f’\left( t \right) = – \frac{4}{{{t^2}}} + \frac{1}{{9{t^4}}},f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{6}\) (vì \(t > 0\)). Ta có bảng biến thiên

Vậy \({Q_{\max }} = 16 \Leftrightarrow t = \frac{1}{6} \Leftrightarrow a = \frac{1}{3};b = c = \frac{1}{{12}}\).

Suy ra tọa độ điểm \(A\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{{12}};\frac{1}{{12}}} \right)\); tọa độ các điểm \(M\left( {\frac{1}{3};0;0} \right)\); \(N\left( {0;\frac{1}{{12}};0} \right)\); \(P\left( {0;0;\frac{1}{{12}}} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right):\frac{x}{{\frac{1}{3}}} + \frac{y}{{\frac{1}{{12}}}} + \frac{z}{{\frac{1}{{12}}}} = 1 \Leftrightarrow 3x + 12y + 12z – 1 = 0\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC