Câu hỏi:
(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba mặt phẳng \((P):x + y + z + 5 = 0\); \((Q):x + y + z + 1 = 0\) và \((R):x + y + z + 2 = 0\). Úng với mỗi cặp điểm \(A,B\) lần lượt thuộc hai mặt phẳng \((P),(Q)\) thì mặt cầu đường kinh \(AB\) luôn cắt mặt phẳng \((R)\) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
B. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
C. \(1.\)
D. \(\frac{1}{2}\).
Lời giải:
Dễ thấy ba mặt phẳng \((P),(Q),(R)\) song song với nhau và mặt phẳng \((R)\) nằm giữa hai mặt phẳng \((P),(Q)\).
Gọi \((\alpha ):x + y + z + D = 0\) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng \((P),(Q)\).
Ta có \(\frac{{|D – 5|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{|D – 1|}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow D = 3 \Rightarrow (\alpha ):x + y + z + 3 = 0\).
Suy ra khoảng cách giưa hai mặt phẳng \((R),(\alpha )\) là \(d = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Khi đó mặt cầu đường kinh \(AB\) có tâm \(I\) luôn thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) cách đều hai mặt phẳng \((P),(Q)\).
Mặt cầu tâm \(I\) luôn cắt mặt phẳng \((R)\) theo một đường tròn có bán kinh là \(r = \sqrt {\frac{{A{B^2}}}{4} – {d^2}} \). Để \({r_{\min }}\) thì \(A{B_{\min }} = d[(P),(Q)] = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\). Vậy \(r = \sqrt {\frac{{A{B^2}}}{4} – {d^2}} = 1\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời