(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 2)^2} = 16;\left( {{S_2}} \right):{(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) và \(I\) là tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\). Xét điểm \(M(a;b;c)\) di động trên \((P)\) sao cho \(IM\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\), khi \(AM\) ngắn nhất thì \(a + b + c\) bằng

Câu hỏi:

A. 1.

B. \( – 1\).

C. \(\frac{7}{3}\).

D. \( – \frac{7}{3}\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I(0;1;2),{R_1} = 4\) và mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J(1; – 1;0),{R_2} = 1\).

Do \(IJ = {R_1} – {R_2} = 3 \Rightarrow \left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) tiếp xúc trong tại \(E\) như hình vẽ (vẽ đại diện là đường tròn).

Ta có \(\overrightarrow {JE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{3}(1; – 2; – 2) \Rightarrow E\left( {\frac{4}{3}; – \frac{5}{3}; – \frac{2}{3}} \right)\) và \((P)\) là mặt phẳng qua \(E\) vuông góc với \(IJ\) có phương trình là \((P):x – 2y – 2z – 6 = 0 \Rightarrow A\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3}; – \frac{{14}}{3}} \right) \in (P)\). Theo giả thiết thì \(IM\) tiếp xúc với \(\left( {{S_2}} \right)\) tại \(N\).

Tinh toán \(\sin I = \frac{{JN}}{{IJ}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan I = \frac{1}{{\sqrt 8 }} = \frac{{EM}}{{EI}} \Rightarrow EM = \frac{4}{{\sqrt 8 }} = \sqrt 2 \).

Khi đó \(AM \ge AE – EM = 4\sqrt 2 – \sqrt 2 = 3\sqrt 2 \). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(A,M,E\) thẳng hàng như hình vẽ:

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} = \frac{3}{4}(0; – 4;4) = (0; – 3;3) \Rightarrow M\left( {\frac{4}{3}; – \frac{{14}}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = – 1\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC