(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x + 1)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 2)^2} = 25\) và hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)\) lần lượt có phương trình \({d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + mt}\\{y = – 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = – 1}\\{z = 1 – mt}\end{array}} \right.\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt mặt cầu \((S)\) tại 4 điểm phân biệt sao cho bốn điểm đó tạo thành tứ giác có diện tích lớn nhất

Câu hỏi:

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Lời giải:

Chọn C

Ta có đánh giá khác như sau: (Gọi \({R_C}\) là bán kính của đường tròn thiết diện \((C)\))

\({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MP \cdot NQ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {{R_C}^2 – {d^2}\left( {O\prime ;MP} \right)} \cdot 2\sqrt {{R_C}^2 – {d^2}\left( {O\prime ;NQ} \right)} \le 2\left( {\frac{{2{R_C}^2 – {d^2}\left( {O\prime ;MP} \right) – {d^2}\left( {O\prime ;NQ} \right)}}{2}} \right)\)\( = 2{R_C}^2 – O\prime {A^2} = \) const với \(O\prime ( – 1; – 1;2)\) là tâm đường tròn \((C)\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(d\left( {O\prime ;MP} \right) = d\left( {O\prime ;NQ} \right) \Leftrightarrow d\left( {O\prime ;{d_1}} \right) = d\left( {O\prime ;{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {O\prime A;} \overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {O\prime A;\overrightarrow {{u_2}} } } \right]} \right|\mid \) \( \Leftrightarrow |2 + m| = | – 2m + 1| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m = – \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\), Vậy chỉ có 2 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC