Câu hỏi:
(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y + z + 5 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; – 2} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(8\pi \). Tìm bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\) chứa đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( T \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\).
A. \(R = 5\).
B. \(R = \frac{{\sqrt {265} }}{4}\).
C. \(R = \frac{{5\sqrt 5 }}{4}\).
D. \(R = 4\).
Lời giải:
Chọn B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi \(8\pi \) nên có bán kính \(r = 4\).
Gọi \(J\) là tâm của mặt cầu \(\left( T \right)\), theo đề ta có \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) và \(\left( T \right)\) theo cùng một giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) do đó \(IJ \bot \left( P \right)\).
Đường thẳng \(IJ\) đi qua điểm \(I\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = – 2 + t\end{array} \right.\).
Suy ra \(J\left( {1 + 2t;2 + 2t; – 2 + t} \right)\).
Ta có: \(d = d\left( {J;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {1 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) – 2 + t + 5} \right|}}{3} = \frac{{\left| {9t + 9} \right|}}{3} = 3\left| {t + 1} \right|\).
Bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\): \(R = JM = \sqrt {4{t^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t – 3} \right)}^2}} \).
Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow 9{\left( {t + 1} \right)^2} + 16 = 4{t^2} + {\left( {2t + 1} \right)^2} + {\left( {t – 3} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 18t + 25 = 9{t^2} – 2t + 10 \Leftrightarrow 20t = – 15 \Leftrightarrow t = – \frac{3}{4}\).
Vậy bán kính của mặt cầu \(\left( T \right)\) là \(R = \frac{{\sqrt {265} }}{4}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời