Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC,BC$. Trong $\Delta BCD$ lấy điểm $M$ sao cho hai đường thẳng $KM,CD$ cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(HKM)$ Lời giải Gọi $I=KM\cap CD$.Ta có hai trường hợp :Trường hợp $1:$ Điểm $I$ thuộc đoạn $CD$ (hình a).Khi đó ta được ba đoạn giao tuyến là $HK,KI,IH$.Do đó thiết diện cần … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC,BC$. Trong $\Delta BCD$ lấy điểm $M$ sao cho hai đường thẳng $KM,CD$ cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(HKM)$
Bài viết sách toán
Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).$2$. Tính $MN$ theo $a, m, n$ và tìm điều kiện đối với $a, m, n$ để góc \(\widehat {MIN}\) là góc vuông.
Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).$2$. Tính $MN$ theo $a, m, … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).$2$. Tính $MN$ theo $a, m, n$ và tìm điều kiện đối với $a, m, n$ để góc \(\widehat {MIN}\) là góc vuông.
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),SB=2a,SC=a\sqrt{2} ,\widehat{SBC}=90^0$$a.$ Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),SB=2a,SC=a\sqrt{2} ,\widehat{SBC}=90^0$$a.$ Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$ Lời giải $a.$ Hạ $SI\bot BC$ tại $I$ suy ra :$AI\bot BC$ định lí ba đường vuông gócSuy ra góc giữa hai mặt phẳng $(ABC),(SBC)$ là $\widehat{SIA}=\varphi $Trong … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),SB=2a,SC=a\sqrt{2} ,\widehat{SBC}=90^0$$a.$ Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$
Đề bài: Cắt tứ diện $ABCD$ bằng một mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau đây:a)$(P)$ song song với $BD$, đi qua $M, N$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $BC$.b) $(P)$ qua $M$ nằm trên cạnh $AB$ và song song với hai đường thẳng $BD, AC$.c) $(P)$ song song với $BD$ và $AC$, ngoài ra (P) đi qua $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD}. $Xác định tính chất của thiết diện nhận được trong từng trường hợp nói trên.
Đề bài: Cắt tứ diện $ABCD$ bằng một mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau đây:a)$(P)$ song song với $BD$, đi qua $M, N$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $BC$.b) $(P)$ qua $M$ nằm trên cạnh $AB$ và song song với hai đường thẳng $BD, AC$.c) $(P)$ song song với $BD$ và $AC$, ngoài ra (P) đi qua $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD}. $Xác định … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cắt tứ diện $ABCD$ bằng một mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau đây:a)$(P)$ song song với $BD$, đi qua $M, N$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh $AB$ và $BC$.b) $(P)$ qua $M$ nằm trên cạnh $AB$ và song song với hai đường thẳng $BD, AC$.c) $(P)$ song song với $BD$ và $AC$, ngoài ra (P) đi qua $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BD}. $Xác định tính chất của thiết diện nhận được trong từng trường hợp nói trên.
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với tâm $O$ và $AB=a, AD=b, AA'=c.$Với mọi điểm $M$ ta đặt $T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA'^2+MB'^2+MC'^2+MD'^2$Chứng minh rằng $T=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2)$. Hãy xác định vị trí của điểm $M$ để $T$ đạt giá trị bé nhất.
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với tâm $O$ và $AB=a, AD=b, AA'=c.$Với mọi điểm $M$ ta đặt $T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA'^2+MB'^2+MC'^2+MD'^2$Chứng minh rằng $T=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2)$. Hãy xác định vị trí của điểm $M$ để $T$ đạt giá trị bé nhất. Lời giải Theo công thức tính độ dài trung tuyến lần lượt trong các tam giác … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với tâm $O$ và $AB=a, AD=b, AA'=c.$Với mọi điểm $M$ ta đặt $T=MA^2+MB^2+MC^2+MD^2+MA'^2+MB'^2+MC'^2+MD'^2$Chứng minh rằng $T=8MO^2+2(a^2+b^2+c^2)$. Hãy xác định vị trí của điểm $M$ để $T$ đạt giá trị bé nhất.
Đề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ đáy là tam giác vuông tại $B; AB=3a, BC=4a$. Biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với $(ABC)$. Giả sử $SB=2a\sqrt{3};\widehat{SBC}=30^0$. Tìm khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
Đề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ đáy là tam giác vuông tại $B; AB=3a, BC=4a$. Biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với $(ABC)$. Giả sử $SB=2a\sqrt{3};\widehat{SBC}=30^0$. Tìm khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$. Lời giải Kẻ $BE \bot AC, HK \bot AC \Rightarrow BE //HK$ Ta có : $SK \bot AC$(định lí ba đường vuông góc) $\Rightarrow AC \bot (SHK) \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ đáy là tam giác vuông tại $B; AB=3a, BC=4a$. Biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với $(ABC)$. Giả sử $SB=2a\sqrt{3};\widehat{SBC}=30^0$. Tìm khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $OAB$, cân tại đỉnh $O,OA=a$ và cạnh đáy $AB=a\sqrt{3} $.Trên các đường thẳng $Ax\bot (P),By\bot (P)$ với $Ax,By$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$, ta lấy theo thứ tự, hai điểm $M,N$ sao cho $AM=a,BN=\frac{a}{2} $$a.$ Chứng minh tam giác $OMN$ vuông$b.$ Tính góc hợp bởi mặt phẳng $(OMN),(P)$
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $OAB$, cân tại đỉnh $O,OA=a$ và cạnh đáy $AB=a\sqrt{3} $.Trên các đường thẳng $Ax\bot (P),By\bot (P)$ với $Ax,By$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$, ta lấy theo thứ tự, hai điểm $M,N$ sao cho $AM=a,BN=\frac{a}{2} $$a.$ Chứng minh tam giác $OMN$ vuông$b.$ Tính góc hợp bởi mặt phẳng $(OMN),(P)$ Lời giải $a.$ Tính $OM,ON,MN$ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $OAB$, cân tại đỉnh $O,OA=a$ và cạnh đáy $AB=a\sqrt{3} $.Trên các đường thẳng $Ax\bot (P),By\bot (P)$ với $Ax,By$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$, ta lấy theo thứ tự, hai điểm $M,N$ sao cho $AM=a,BN=\frac{a}{2} $$a.$ Chứng minh tam giác $OMN$ vuông$b.$ Tính góc hợp bởi mặt phẳng $(OMN),(P)$
Đề bài: Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng
Đề bài: Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng Lời giải Với ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$.Giả sử :$a\cap b=\left\{ {A} \right\} ,b\cap c=\left\{ {B} \right\} ,c\cap a=\left\{ {C} \right\} $Xét hai trường hợp :*Trường hợp $1:$ Ba điểm $A,B,C$ là ba điểm phân biệt.Do $a,b,c$ phân biệt … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì chúng đồng quy hoặc cùng nằm trong một mặt phẳng
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $C, AB=2a,\widehat{CAB}=60^0$, đoạn $SA=h$ và $SA$ vuông góc với $(P)$. Tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$ bằng $60^0$.
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $C, AB=2a,\widehat{CAB}=60^0$, đoạn $SA=h$ và $SA$ vuông góc với $(P)$. Tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$ bằng $60^0$. Lời giải Kẻ $AH \bot SC, AK \bot SB ( H\in SC, K\in SB)$.Dễ dàng nhận thấy $\widehat{AKH}=\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$. Từ đó:$\alpha =60^0\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $C, AB=2a,\widehat{CAB}=60^0$, đoạn $SA=h$ và $SA$ vuông góc với $(P)$. Tìm $h$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SBC)$ bằng $60^0$.
Đề bài: Trên hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', R')$, với $OO'\bot (P)$. Gọi $OA$ và $O'B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho $OA\bot OB$. Cho $OO'=h$.a) Vẽ đường vuông góc chung của $AB$ và $OO'$.b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. Hãy tìm quỹ tích đầu mút di động của đoạn vuông góc chung này.
Đề bài: Trên hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', R')$, với $OO'\bot (P)$. Gọi $OA$ và $O'B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho $OA\bot OB$. Cho $OO'=h$.a) Vẽ đường vuông góc chung của $AB$ và $OO'$.b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Trên hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ song song nhau, ta vẽ tương ứng hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', R')$, với $OO'\bot (P)$. Gọi $OA$ và $O'B$ theo thứ tự là hai bán kính của hai đường tròn trên sao cho $OA\bot OB$. Cho $OO'=h$.a) Vẽ đường vuông góc chung của $AB$ và $OO'$.b) Chứng minh đường vuông góc chung này qua một điểm cố định. Hãy tìm quỹ tích đầu mút di động của đoạn vuông góc chung này.