Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

Chuyên Khảo 2026: “Bài Toán Chia Kẹo Euler” Trong Kì Thi THPT Quốc Gia & HSG

Ngày Thuộc chủ đề:Blog Toán Tag với:, , , ,

Lời Nói Đầu: Tầm Quan Trọng Của Tổ Hợp Trong Xu Hướng Thi 2026Chào các em học sinh và quý đồng nghiệp. Hôm nay là ngày 19/04/2026. Chỉ còn vài tháng nữa là kỳ thi THPT Quốc gia 2026 sẽ chính thức diễn ra. Theo định hướng của Chương trình Giáo dục phổ thông 2018, mảng Toán rời rạc, đặc biệt là Tổ hợp - Xác suất, đã được nâng tầm quan trọng và xuất hiện với tần suất dày đặc trong … [Đọc thêm...] vềChuyên Khảo 2026: “Bài Toán Chia Kẹo Euler” Trong Kì Thi THPT Quốc Gia & HSG

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Ngày Thuộc chủ đề:Bài tập Đại số tổ hợp Tag với:, , ,

Dạng toán: Đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trướcPhương pháp giảiĐể giải các bài toán lập số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện về tính chẵn, lẻ hoặc chia hết, ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Các bước cơ bản như sau:Bước 1: Gọi số tự nhiên cần tìm dưới dạng tổng quát $\overline{a_1a_2...a_n}$ với $a_1 \neq 0$.Bước 2: Phân tích các điều kiện của bài toán để … [Đọc thêm...] vềTừ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Ngày Thuộc chủ đề:Bài tập Đại số tổ hợp, Toán lớp 10 Tag với:, , ,

Dạng toán: Đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiệnPhương pháp giải: Để giải bài toán đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện (chẵn, lẻ, chia hết, ...), ta thực hiện các bước sau:Bước 1: Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{a_1a_2...a_n}$ (với $a_1 \neq 0$).Bước 2: Phân tích các điều kiện của bài toán (ví dụ: số chẵn thì chữ số tận cùng phải là số chẵn).Bước 3: Ưu tiên chọn các chữ … [Đọc thêm...] vềTừ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Một xấp vé số có 10 vé, trong đó 3 vé trúng thưởng. An mua ngẫu nhiên 2 vé, Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại. Tính xác suất Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng, biết An đã mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

1. Đề bàiMột xấp vé số có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. An mua ngẫu nhiên 2 vé, sau đó Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại. Tính xác suất để Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng, biết rằng An đã mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng.2. Phân tích và Phương pháp giảiĐây là bài toán thuộc dạng Xác suất có điều kiện mức độ Vận dụng cao. Để giải bài toán này, ta cần sử … [Đọc thêm...] vềMột xấp vé số có 10 vé, trong đó 3 vé trúng thưởng. An mua ngẫu nhiên 2 vé, Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại. Tính xác suất Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng, biết An đã mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng

Một máy bay mất tích ở 3 vùng A, B, C với xác suất bằng nhau. Tìm ở vùng A không thấy (biết xác suất tìm thấy nếu máy bay thực sự ở A là 0,6), tính xác suất máy bay vẫn nằm ở vùng A

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

Dạng toán: Xác suất có điều kiện - Công thức Bayes (Vận dụng cao)Bài toán tìm kiếm cứu nạn là một trong những ứng dụng kinh điển và thực tế nhất của Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes. Đây là dạng toán vận dụng cao, yêu cầu học sinh phải xác định đúng hệ biến cố đầy đủ và phân tích được bản chất của xác suất hậu nghiệm (xác suất sau khi đã có thêm thông tin).Phương pháp … [Đọc thêm...] vềMột máy bay mất tích ở 3 vùng A, B, C với xác suất bằng nhau. Tìm ở vùng A không thấy (biết xác suất tìm thấy nếu máy bay thực sự ở A là 0,6), tính xác suất máy bay vẫn nằm ở vùng A

Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 đồng xu (cân đối, 2 mặt Sấp, đồng xu lệch) và tung 2 lần đều ra mặt Sấp. Tính xác suất chọn được đồng xu cân đối

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

Dạng toán: Xác suất có điều kiện và công thức BayesBài toán xác suất có điều kiện dạng vận dụng cao thường kết hợp giữa công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Đây là một trong những dạng bài phân loại học sinh giỏi, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán.1. Đề bàiMột hộp chứa 3 đồng xu nhìn bề ngoài hoàn toàn giống nhau … [Đọc thêm...] vềChọn ngẫu nhiên 1 trong 3 đồng xu (cân đối, 2 mặt Sấp, đồng xu lệch) và tung 2 lần đều ra mặt Sấp. Tính xác suất chọn được đồng xu cân đối

Truyền một tín hiệu nhị phân (0 hoặc 1) qua 2 trạm thu phát. Biết xác suất phát tín hiệu 1 là 0,6; xác suất mỗi trạm làm sai lệch tín hiệu là 10%. Tính xác suất tín hiệu ban đầu là 1 biết tín hiệu nhận được cuối cùng là 1.

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

1. Dạng toán và Phương pháp giảiBài toán trên thuộc dạng Xác suất có điều kiện vận dụng cao (VDC), ứng dụng linh hoạt Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes. Trong các bài toán thực tế như truyền tải thông tin, kiểm định chất lượng nhiều giai đoạn, kết quả cuối cùng bị ảnh hưởng bởi nhiều biến cố trung gian độc lập.Phương pháp giải:Bước 1: Gọi $A$ là biến cố của đối … [Đọc thêm...] vềTruyền một tín hiệu nhị phân (0 hoặc 1) qua 2 trạm thu phát. Biết xác suất phát tín hiệu 1 là 0,6; xác suất mỗi trạm làm sai lệch tín hiệu là 10%. Tính xác suất tín hiệu ban đầu là 1 biết tín hiệu nhận được cuối cùng là 1.

Một trạm phát tín hiệu phát đi hai loại tín hiệu A và B với xác suất 0,6 và 0,4. Giả sử trạm thu nhận được tín hiệu A, tính xác suất để trạm phát thực sự đã phát đi tín hiệu A

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

Dạng toán: Xác suất có điều kiện - Định lý Bayes (Vận dụng cao)Đây là dạng toán điển hình của chương Xác suất, yêu cầu học sinh nắm vững Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes. Bài toán thường mô tả một quá trình hai giai đoạn, trong đó kết quả của giai đoạn hai đã biết và ta cần tính xác suất ngược lại cho một nguyên nhân (biến cố) ở giai đoạn một.Phương pháp giảiBước … [Đọc thêm...] vềMột trạm phát tín hiệu phát đi hai loại tín hiệu A và B với xác suất 0,6 và 0,4. Giả sử trạm thu nhận được tín hiệu A, tính xác suất để trạm phát thực sự đã phát đi tín hiệu A

Có hai hộp bi: Hộp 1 chứa 4 bi đỏ và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm thì chọn hộp 1, nếu xuất hiện mặt 3, 4, 5, hoặc 6 chấm thì chọn hộp 2. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để 2 viên bi đó được lấy từ hộp 1.

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , , ,

Dạng toán: Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes (Vận dụng cao) 1. Phương pháp giải Để giải các bài toán xác suất có điều kiện ở mức độ vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến hai giai đoạn (chọn đối tượng rồi mới thực hiện phép thử), chúng ta áp dụng hệ thống Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes. Bước 1: Gọi $A_1, A_2, ..., A_n$ là một hệ biến cố … [Đọc thêm...] vềCó hai hộp bi: Hộp 1 chứa 4 bi đỏ và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm thì chọn hộp 1, nếu xuất hiện mặt 3, 4, 5, hoặc 6 chấm thì chọn hộp 2. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để 2 viên bi đó được lấy từ hộp 1.

Một người gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 thì rút 2 viên bi từ hộp I (4 đỏ, 6 xanh), ngược lại rút 2 viên bi từ hộp II (5 đỏ, 5 xanh). Giả sử rút được 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.

Ngày Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện Tag với:, , ,

Dạng toánBài toán thuộc dạng Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes ở mức độ vận dụng cao. Bài toán yêu cầu tính xác suất của một nguyên nhân (biến cố xảy ra trước) khi đã biết kết quả (biến cố xảy ra sau).Phương pháp giảiBước 1: Lập hệ biến cố đầy đủ. Gọi $B_1, B_2, ..., B_n$ là các biến cố nguyên nhân xung khắc và vét cạn mọi trường hợp. Tính $P(B_i)$.Bước 2: Gọi $A$ là … [Đọc thêm...] vềMột người gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 thì rút 2 viên bi từ hộp I (4 đỏ, 6 xanh), ngược lại rút 2 viên bi từ hộp II (5 đỏ, 5 xanh). Giả sử rút được 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.