Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Kí hiệu \(S,{S_1},{S_2},{S_3}\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC,OAB,OBC,OCA\). Chứng minh rằng \(\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} + \frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} + \frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} \le \frac{3}{5}\). Lời giải Đặt \(OA = a,OB = b,OC = c\). Gọi \(H\) là hình chiếu […]
Hình học không gian
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) bằng \(\widehat {BAC}\). Tính \(P = \tan \widehat {BAC} \cdot \cos \widehat {ASB}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) bằng \(\widehat {BAC}\). Tính \(P = \tan \widehat {BAC} \cdot \cos \widehat {ASB}\). Lời giải Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) xuống \(SB,SC\). Từ đây dẫn đến \(SC \bot […]
Đề bài: Giả sử $a$ và $b$ là hai đường chéo nhau. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và một mặt phẳng $(Q)$ chứa $b$ sao cho $(P)//(Q)$
Đề bài: Giả sử $a$ và $b$ là hai đường chéo nhau. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và một mặt phẳng $(Q)$ chứa $b$ sao cho $(P)//(Q)$ Lời giải Qua một điểm $A\in a$, vẽ đường thẳng $b’$ song song với $b$ và qua một điểm $B\in […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ với cạnh bằng $a$.$1.$ Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’$ và $BD’$$2.$ Chứng minh rằng đường chéo $BD’$ vuông góc với mặt phẳng $(DA’C’).$
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ với cạnh bằng $a$.$1.$ Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’$ và $BD’$$2.$ Chứng minh rằng đường chéo $BD’$ vuông góc với mặt phẳng $(DA’C’).$ Lời giải $1.$ Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AA’, BD’$. Dễ thấy $IJ$ là chân đường vuông […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C, MN$.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C, MN$. Lời giải Ta có $BC//MN\Rightarrow MN//(A’BC) \Rightarrow d(MN,A’C)=d(M,(A’BC))=d(M,(A’BC)) (1)$Ta có: $AI \bot A’B (A’B \cap AB’=I)$.Ta lại có: $ BC \bot (BAA’B) \Rightarrow BC \bot AI$.Từ […]
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Qua trung điểm $I$ của cạnh $AB$ dựng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Trên $d$ lấy điểm $S$ sao cho $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.1) Tìm thể tích hình chóp $S.ACD$.2) Tìm khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$.
Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Qua trung điểm $I$ của cạnh $AB$ dựng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Trên $d$ lấy điểm $S$ sao cho $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.1) Tìm thể tích hình chóp $S.ACD$.2) Tìm khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$. Lời giải 1) $V_{S.ACD}=\frac{1}{3}d(S,(ACD)).S_{ACD}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}\frac{a^2}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$2) $SA=\sqrt{SI^2+IA^2}=a$$SD=\sqrt{SI^2+ID^2}=a\sqrt2$$\Rightarrow […]
Đề bài: Cho hình chóp đều $S.ABC$ đỉnh $S$ có các cạnh đáy đều bằng $a$, đường cao hình chóp $SH = h.$$a$) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng ($P$) qua cạnh đáy $BC$ và vuông góc với cạnh bên $SA.$$b)$ Nếu tỉ số $\frac{h}{a} = \sqrt 3 $ thì mặt phẳng ($P$) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào?
Đề bài: Cho hình chóp đều $S.ABC$ đỉnh $S$ có các cạnh đáy đều bằng $a$, đường cao hình chóp $SH = h.$$a$) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng ($P$) qua cạnh đáy $BC$ và vuông góc với cạnh bên $SA.$$b)$ Nếu tỉ số $\frac{h}{a} = \sqrt 3 $ thì […]
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ vuông góc nhau từng đôi một, với $OA=a, OB=b$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Xác định và tính đoạn vuông góc của $OC$ và $AM$.
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ vuông góc nhau từng đôi một, với $OA=a, OB=b$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Xác định và tính đoạn vuông góc của $OC$ và $AM$. Lời giải vẽ $MM’ \parallel OC (M’\in OB)$, ta có: $OC \parallel (AM’M).$Vẽ $OH\bot AM’$, suy ra $OH\bot (AMM’)$.Vẽ […]
Đề bài: Cho hai tam giác $ABC,A'B'C'$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua các trung điểm của các cặp cạnh $AB'$ và $A'B,BC'$ và $B'C,CA'$ và $C'A$ song song với một mặt phẳng
Đề bài: Cho hai tam giác $ABC,A'B'C'$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua các trung điểm của các cặp cạnh $AB'$ và $A'B,BC'$ và $B'C,CA'$ và $C'A$ song song với một mặt phẳng Lời giải Đặt $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c} $ là các véctơ chỉ phương của […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD. A_1B_1C_1D_1$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BB_1, CD, A_1D_1$. Chứng minh $MP \bot C_1N$.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD. A_1B_1C_1D_1$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BB_1, CD, A_1D_1$. Chứng minh $MP \bot C_1N$. Lời giải Gọi $E$ là trung điểm của $CC_1$.ta có: $ME// BC\Rightarrow ME// A_1D_1$.Gọi $(Q)$ là mặt phẳng $MED_1A_1\Rightarrow MP \in (Q) (1)$Dễ thấy hai tam giác vuông $C_1CN; D_1C_1E$ bằng […]