Đề bài: Cho hai tam giác $ABC,A'B'C'$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua các trung điểm của các cặp cạnh $AB'$ và $A'B,BC'$ và $B'C,CA'$ và $C'A$ song song với một mặt phẳng Lời giải Đặt $\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c} $ là các véctơ chỉ phương của các … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hai tam giác $ABC,A'B'C'$ nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua các trung điểm của các cặp cạnh $AB'$ và $A'B,BC'$ và $B'C,CA'$ và $C'A$ song song với một mặt phẳng
Vectơ trong không gian
Đề bài: Cho $n$ điểm $A_1, A_2,…A_n$ và $n$ số $k_1, k_2,…, k_n$ mà $k_1+k_2+…+k_n=k$a) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm $G$ sao cho:$k_1 \overrightarrow{GA_1}+k_2 \overrightarrow{GA_2}+…+k_n \overrightarrow{GA_n}=\overrightarrow{0}$Điểm $G$ như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_i$, gắn với các hệ số $k_i$. Trong trường hợp các hệ số $k_i$ bằng nhau (và do đó có thể xem các $k_i$ đều bằng 1) thì $G$ gọi là trọng tâm của hệ điểm $A_i$.b) Chứng minh rằng nếu $G$ là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với mọi điểm $O$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{k}(k_1 \overrightarrow{OA_1}+k_2 \overrightarrow{OA_2}+…+k_n \overrightarrow{OA_n})$.
Đề bài: Cho $n$ điểm $A_1, A_2,...A_n$ và $n$ số $k_1, k_2,..., k_n$ mà $k_1+k_2+...+k_n=k$a) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm $G$ sao cho:$k_1 \overrightarrow{GA_1}+k_2 \overrightarrow{GA_2}+...+k_n \overrightarrow{GA_n}=\overrightarrow{0}$Điểm $G$ như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_i$, gắn với các hệ số $k_i$. Trong trường hợp các hệ số $k_i$ bằng nhau (và do đó có … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n$ điểm $A_1, A_2,…A_n$ và $n$ số $k_1, k_2,…, k_n$ mà $k_1+k_2+…+k_n=k$a) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm $G$ sao cho:$k_1 \overrightarrow{GA_1}+k_2 \overrightarrow{GA_2}+…+k_n \overrightarrow{GA_n}=\overrightarrow{0}$Điểm $G$ như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $A_i$, gắn với các hệ số $k_i$. Trong trường hợp các hệ số $k_i$ bằng nhau (và do đó có thể xem các $k_i$ đều bằng 1) thì $G$ gọi là trọng tâm của hệ điểm $A_i$.b) Chứng minh rằng nếu $G$ là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với mọi điểm $O$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{k}(k_1 \overrightarrow{OA_1}+k_2 \overrightarrow{OA_2}+…+k_n \overrightarrow{OA_n})$.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có tâm $O$,gọi $I$ là tâm của mặt $CDD_{1}C_{1}$.Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AO},\overrightarrow {AI}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA_{1}}$
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có tâm $O$,gọi $I$ là tâm của mặt $CDD_{1}C_{1}$.Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AO},\overrightarrow {AI}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA_{1}}$ Lời giải cần giải chi tiết … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có tâm $O$,gọi $I$ là tâm của mặt $CDD_{1}C_{1}$.Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AO},\overrightarrow {AI}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AA_{1}}$
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là các điểm thỏa mãn :$\overrightarrow {A_1A}=-2\overrightarrow {A_1B}, \overrightarrow {B_1B}=-2\overrightarrow {B_1C} $$\overrightarrow {C_1C}=-2\overrightarrow {C_1D} , \overrightarrow {D_1D}=-2\overrightarrow {D_1A} $Đặt $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {i},\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {j} ,\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {k} $.Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {A_1B_1},\overrightarrow {A_1C_1},\overrightarrow {A_1D_1} $ theo ba véctơ $\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k} $
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là các điểm thỏa mãn :$\overrightarrow {A_1A}=-2\overrightarrow {A_1B}, \overrightarrow {B_1B}=-2\overrightarrow {B_1C} $$\overrightarrow {C_1C}=-2\overrightarrow {C_1D} , \overrightarrow {D_1D}=-2\overrightarrow {D_1A} $Đặt $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {i},\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {j} ,\overrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là các điểm thỏa mãn :$\overrightarrow {A_1A}=-2\overrightarrow {A_1B}, \overrightarrow {B_1B}=-2\overrightarrow {B_1C} $$\overrightarrow {C_1C}=-2\overrightarrow {C_1D} , \overrightarrow {D_1D}=-2\overrightarrow {D_1A} $Đặt $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {i},\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {j} ,\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {k} $.Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {A_1B_1},\overrightarrow {A_1C_1},\overrightarrow {A_1D_1} $ theo ba véctơ $\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k} $
Đề bài: Cho tứ diện vuông $OABC$,vuông tại $O$ và $OA=OB=OC$.Điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow {OM}|=OA$,nửa đường thẳng $OM$ tạo với tia $OC$ một góc bẳng $45^{0}$ và tạo với hai tia $OA,OB$ thành hai góc nhọn bằng nhau.Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {OM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$
Đề bài: Cho tứ diện vuông $OABC$,vuông tại $O$ và $OA=OB=OC$.Điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow {OM}|=OA$,nửa đường thẳng $OM$ tạo với tia $OC$ một góc bẳng $45^{0}$ và tạo với hai tia $OA,OB$ thành hai góc nhọn bằng nhau.Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {OM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$ Lời giải cần … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện vuông $OABC$,vuông tại $O$ và $OA=OB=OC$.Điểm $M$ thỏa mãn $|\overrightarrow {OM}|=OA$,nửa đường thẳng $OM$ tạo với tia $OC$ một góc bẳng $45^{0}$ và tạo với hai tia $OA,OB$ thành hai góc nhọn bằng nhau.Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {OM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$
Đề bài: Chứng minh rằng trong một tứ diện, nếu có hai cặp đối diện vuông góc thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc
Đề bài: Chứng minh rằng trong một tứ diện, nếu có hai cặp đối diện vuông góc thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc Lời giải Tứ diện $ABCD$ có $AB\bot CD$ và $AD\bot BC.$Ta cần chứng minh $AC\bot BD$.Từ $A$ kẻ $AE\bot CD$.Kết hợp với $AB\bot CD$ ta suy ra $CD\bot (AEB)$Ta lại có $CD\subset (BCD)$ nên ta được $(AEB)\bot (BCD) (1)$Tương tự, nếu kẻ $AI\bot … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng trong một tứ diện, nếu có hai cặp đối diện vuông góc thì cặp cạnh đối diện còn lại cũng vuông góc
Đề bài: Cho ba véctơ $\overrightarrow {v_1},\overrightarrow {v_2},\overrightarrow {v_3} $ sao cho vectơ $\overrightarrow {v_2} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_3}-\overrightarrow {v_1} )$ và véctơ $\overrightarrow {v_3} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_1}-\overrightarrow {v_2} )$.Chứng minh rằng véctơ $\overrightarrow {v_1} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_2}-\overrightarrow {v_3} )$
Đề bài: Cho ba véctơ $\overrightarrow {v_1},\overrightarrow {v_2},\overrightarrow {v_3} $ sao cho vectơ $\overrightarrow {v_2} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_3}-\overrightarrow {v_1} )$ và véctơ $\overrightarrow {v_3} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_1}-\overrightarrow {v_2} )$.Chứng minh rằng véctơ $\overrightarrow {v_1} $ vuông góc với véctơ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho ba véctơ $\overrightarrow {v_1},\overrightarrow {v_2},\overrightarrow {v_3} $ sao cho vectơ $\overrightarrow {v_2} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_3}-\overrightarrow {v_1} )$ và véctơ $\overrightarrow {v_3} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_1}-\overrightarrow {v_2} )$.Chứng minh rằng véctơ $\overrightarrow {v_1} $ vuông góc với véctơ $(\overrightarrow {v_2}-\overrightarrow {v_3} )$
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.Hãy phân tích các véctơ $\overrightarrow {AC};\overrightarrow {A'C};\overrightarrow {BD'} $ theo các véctơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {AA'} $
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.Hãy phân tích các véctơ $\overrightarrow {AC};\overrightarrow {A'C};\overrightarrow {BD'} $ theo các véctơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {AA'} $ Lời giải Cần giải chi tiếtĐáp số :$\overrightarrow {AC'}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$.Hãy phân tích các véctơ $\overrightarrow {AC};\overrightarrow {A'C};\overrightarrow {BD'} $ theo các véctơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {AA'} $
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$$a.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC} $$b) M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $CD.$Chứng minh hệ thức :$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{4} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD} )$
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$$a.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC} $$b) M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $CD.$Chứng minh hệ thức :$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{4} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD} )$ Lời giải $a.$ Ta có : … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện $ABCD$$a.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC} $$b) M$ là trung điểm của $AB;P$ là trung điểm của $CD.$Chứng minh hệ thức :$\overrightarrow {MP}=\frac{1}{4} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD} )$
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $M,N$ là các điểm lần lượt thuộc $AB$ và $CD$ sao cho $\overrightarrow {MA}=-2.\overrightarrow {MB},\overrightarrow {ND}=-2.\overrightarrow {NC}$.Các điểm $I,J,K$ lần lượt thuộc $AD,MN,BC$ sao cho $\overrightarrow {IA}=k.\overrightarrow {ID},\overrightarrow {JM}=k.\overrightarrow {JN},\overrightarrow {KB}=k.\overrightarrow {KC}$.Chứng minh rằng các điểm $I,J,K$ thẳng hàng.
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $M,N$ là các điểm lần lượt thuộc $AB$ và $CD$ sao cho $\overrightarrow {MA}=-2.\overrightarrow {MB},\overrightarrow {ND}=-2.\overrightarrow {NC}$.Các điểm $I,J,K$ lần lượt thuộc $AD,MN,BC$ sao cho $\overrightarrow {IA}=k.\overrightarrow {ID},\overrightarrow {JM}=k.\overrightarrow {JN},\overrightarrow {KB}=k.\overrightarrow {KC}$.Chứng minh rằng … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $M,N$ là các điểm lần lượt thuộc $AB$ và $CD$ sao cho $\overrightarrow {MA}=-2.\overrightarrow {MB},\overrightarrow {ND}=-2.\overrightarrow {NC}$.Các điểm $I,J,K$ lần lượt thuộc $AD,MN,BC$ sao cho $\overrightarrow {IA}=k.\overrightarrow {ID},\overrightarrow {JM}=k.\overrightarrow {JN},\overrightarrow {KB}=k.\overrightarrow {KC}$.Chứng minh rằng các điểm $I,J,K$ thẳng hàng.