Đề bài: Cho hình chóp đều $S.ABC$ đỉnh $S$ có các cạnh đáy đều bằng $a$, đường cao hình chóp $SH = h.$$a$) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng ($P$) qua cạnh đáy $BC$ và vuông góc với cạnh bên $SA.$$b)$ Nếu tỉ số $\frac{h}{a} = \sqrt 3 $ thì mặt phẳng ($P$) chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào?

Lời giải

$a$. Vì $SABC$ là hình chóp đều nên chân đường cao $H$ của chóp là tâm tam giác đều $ABC$
$AH$ cắt $BC$ tại $M$ thì $M$ là trung điểm của $BC$ và $AH \bot BC$
Vì $\Delta SBC$ cân tại $S$ nên ta có $SM\bot BC\Rightarrow  BC\bot (SMA)\Rightarrow  BC\bot SA$
Từ $B$ kẻ $BN\bot SA$. Khi đó $SA\bot BC$ và $SA\bot BN      (1)$
Mà $BC$ và $BN$ là $2$ đường thẳng cắt nhau trong $(BCN)        (2)$
Từ $(1),(2)\Rightarrow  SA\bot (BCN)$
Vậy $\Delta BCN$ là thiết diện cần tìm
$b.$
Nhận thấy : thiết diện chia chóp thành hai tứ diện có chung đáy $(BCN)$ và các đường cao là $AN$ và $SN$.Như vậy tỉ số hai thể tích bằng tỉ số hai đường cao.
Ta có : $\Delta SAH \sim \Delta MAN$ nên $AN.AS=AH.AM   (*)$
Do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\frac{a\sqrt{3} }{2} \Rightarrow  AH=\frac{a}{\sqrt{3} } $
Theo giả thiết $h=a\sqrt{3} $
Ta có $SA^2=AH^2+SH^2=\frac{10}{3} a^2.$
Từ $(*)\Rightarrow  \frac{AN}{SA} =\frac{AH.AM}{SA^2} =\frac{3}{20} $
$\Rightarrow  \frac{AN}{SN} =\frac{AN}{SA-AN} =\frac{3}{20-3}=\frac{3}{17}  $
Vậy tỉ lệ thể tích là $\frac{V_{(ANBC)}}{V_{(SNBC)}} =\frac{3}{17} $
ĐS: $\frac{3}{17} $