Lời giải
Đặt $h = BB’; a = B’C’$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$.
$1$. Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng nên các tam giác $IAC$ và $IAB$ đều vuông ở $A$ và ta có \(I{B^2} = I{A^2} + A{B^2};I{C^2} = I{A^2} + A{C^2}\)
Theo giả thiết $AB = AC$ nên $IB = IC$ \( \Rightarrow \Delta IBC\) vuông cân.
$2$ .Ta có \(BB’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow\) $BC$ là hình chiếu vuông góc của $B’C’$ xuống $(ABC)$
\( \Rightarrow \widehat {C’BC} = \beta = \tan^2\beta = \frac{{{h^2}}}{{{a^2}}}\)
Tam giác $ABC$ cân ở $A, D$ là trung điểm của $BC$ \(\Rightarrow AD \bot BC \)
\(\Rightarrow \tan \alpha = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{2AD}}{a}\)
\(\Rightarrow \tan^2\alpha = \frac{{4A{D^2}}}{a}\)\(\tan^2\alpha + t{g^2}\beta = \frac{{{h^2} + 4A{D^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{4A{I^2} + 4A{D^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{4\left( {A{I^2} + A{D^2}} \right)}}{{{a^2}}}\)
Mà tam giác $IAD$ vuông ở \(A \Rightarrow A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\)
Tam giác $IBC$ vuông cân ở \(I \Rightarrow ID = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)
Suy ra \(A{I^2} + A{D^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow \tan^2\alpha + \tan^2\beta = 1\) (đpcm)
Trả lời