Đề bài: Cho một lăng trụ đứng $ABC A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$, góc \(\widehat {ABC} = \alpha\), $BC’$ hợp với đáy $AB$ góc \(\beta\). Gọi $I$ là tung điểm của $AA’$. Biết rằng\(\widehat {BIC}\) là góc vuông.$1$. Chứng tỏ rằng $BIC$ là tam giác vuông cân.$2$. Chứng minh rằng:   \(\tan^2\alpha  + \tan^2\beta  = 1\)

Lời giải

Đặt $h = BB’; a = B’C’$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$.

$1$. Vì lăng trụ đã cho là  lăng trụ đứng nên các tam giác $IAC$ và $IAB$ đều vuông ở $A$ và ta có \(I{B^2} = I{A^2} + A{B^2};I{C^2} = I{A^2} + A{C^2}\)
Theo giả thiết $AB = AC$ nên $IB = IC$ \( \Rightarrow \Delta IBC\) vuông cân.

$2$ .Ta có \(BB’ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow\) $BC$ là hình chiếu vuông góc của $B’C’$ xuống $(ABC)$
\( \Rightarrow \widehat {C’BC} = \beta  = \tan^2\beta  = \frac{{{h^2}}}{{{a^2}}}\)
Tam giác $ABC$ cân ở $A, D$ là trung điểm của $BC$ \(\Rightarrow AD \bot BC \)
\(\Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{2AD}}{a}\)
\(\Rightarrow \tan^2\alpha  = \frac{{4A{D^2}}}{a}\)\(\tan^2\alpha  + t{g^2}\beta  = \frac{{{h^2} + 4A{D^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{4A{I^2} + 4A{D^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{4\left( {A{I^2} + A{D^2}} \right)}}{{{a^2}}}\)
Mà tam giác $IAD$ vuông ở \(A \Rightarrow A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\)
Tam giác $IBC$ vuông cân ở \(I \Rightarrow ID = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)
Suy ra \(A{I^2} + A{D^2} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow \tan^2\alpha  + \tan^2\beta  = 1\) (đpcm)