Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy là $a$, đường cao $SH=h$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $AB$ và $(\alpha )\bot SC$a) Tìm điều kiện của $h$ để $(\alpha )$ cắt cạnh $SC$ tại $K$. Tính diện tích $\Delta ABK$b) Tính $h$ theo $a$ để $(\alpha )$ chia hình chóp theo hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau

Lời giải

Trong $(ABC)$ vẽ $Hy\bot HA$
Chọn hệ trục tọa độ $Hyxz$ sao cho: $H(0;0;0), A(\frac{a\sqrt{3} }{3};0;0 ), S(0;0;h), (HA=\frac{a\sqrt{3} }{3} )$
$\Rightarrow  B(-\frac{a\sqrt{3} }{6};\frac{a}{2};0  ), C(-\frac{a\sqrt{3} }{6};-\frac{a}{2};0  )$

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$
$\Rightarrow  I(\frac{a\sqrt{3} }{12};\frac{a}{4};0  )\Rightarrow  IK\bot SC, IK\bot AB$
$\begin{array}{l}
IK = \frac{{|{\rm{[}}\overrightarrow {SC} {\rm{,}}\overrightarrow {SI} {\rm{]}}|}}{{SC}} = \frac{{\left| {\left[ { – \frac{1}{2}(a\sqrt 3 ;3a;6h),\,\frac{{ – 1}}{{12}}(a\sqrt 3 ;3a; – 12h)} \right]} \right|}}{{\frac{1}{2}\sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {{(3a)}^2} + {{(6h)}^2}} }}\\
       = \frac{{\frac{3}{2}ah|( – 3;\sqrt 3 ;0)|}}{{2\sqrt {3{a^2} + 9{h^2}} }} = \frac{{3ah}}{{2\sqrt {{a^2} + 3{h^2}} }}\\
 \Rightarrow {S_{ABK}} = \frac{1}{2}IK.AB = \frac{{3ah}}{{4\sqrt {a + 3h} }}   (đvdt)
\end{array}$

b) $(\alpha )$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau khi $K$ là trung điểm $SC$
$\Rightarrow  IC=IS\Leftrightarrow  \frac{3a^2}{4}=\frac{a^2+12h^2}{12}  \Leftrightarrow  h=a\sqrt{\frac{2}{3} } $
Khi đó, $\Delta CAB=\Delta SAB\Rightarrow  SA=SB=a$ và $SC^2=SH^2+CH^2=\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{3}\Rightarrow  SC=a  $
$\Rightarrow  $ Hình chóp $SABC$ đều

Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp của $SABC$ trùng nhau