Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$;Gọi $I,J,K,N$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,AD,CD,BC$$a.$ Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng $IK,AC$ bằng góc giữa hai đường thẳng $IK,BD$ khi và chỉ khi $AC=BD$$b.$ Chứng minh rằng tam giác $INJ$ vuông tại $I$ khi và chỉ khi $AC\bot BD$

Lời giải

cần giải chi tiết
$a.$ Tức giác $IJKN$ là hình bình hành.
$JK//AC$ nên góc giữa $IK,AC$ bằng góc giữa $IK,JK$ tức là góc $\widehat{IKJ} $
Tương tự, góc giữa $IK,BD$ bằng góc $\widehat{IKN} $
– Khi $AC=BD\Rightarrow  IJKN$ là hình thoi, $IJ$ là phân giác của góc $\widehat{IKN} $ hay $\widehat{IKJ}=\widehat{IKN}  $
– Khi $\widehat{IKJ}=\widehat{IKN}\Rightarrow    $ hình bình hành $IJKN$ có một đường chéo là phân giác của góc ở đỉnh nên nó là hình thoi, suy ra $JK=NK\Rightarrow  AC=BD$
$b.$ $IJ//BD$ và $IN//AC$