Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).$2$. Tính $MN$ theo $a, m, n$ và tìm điều kiện đối với $a, m, n$ để góc \(\widehat {MIN}\) là góc vuông.

Lời giải

$1$: Do $ABCD$ là hình vuông nên \(BI \bot AC{\rm  { do}}  Ax \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AM \bot BI\). Do đó \(BI \bot AC\) và \( AM\Rightarrow BI \bot \left( {AMNC} \right)\)
\(\Rightarrow {V_{BAMNC}} = \frac{1}{3}BI. S_{AMNC} =\) $\frac{1}{3}BI.\frac{{AM + NC}}{2}.AC = \frac{1}{3}.B{I^2}.\left( {m + n} \right)$
                     $=\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\left( {m + n} \right) = \frac{{{a^2}\left( {m + n} \right)}}{6}$

$2$: Hình $AMNC$ là hình thang vuông$(\widehat A = \widehat C = {90^0})$, với hai đáy có độ dài $m, n$, do đó $ M{N^2} = A{C^2} + (m – n) = 2{a^2} + {(m – n)^2} \Rightarrow MN = \sqrt {2{a^2} + {{\left( {m – n} \right)}^2}}$
Mặt  khác  $M{I^2} = {m^2} + A{I^2} = {m^2} + \frac{{{a^2}}}{2},{\rm{  N}}{{\rm{I}}^2} = {n^2} + \frac{{{a^2}}}{2} $
Do đó  $\widehat {MIN} = {90^0} \Leftrightarrow M{N^2} = M{I^2} + N{I^2} \Leftrightarrow 2{a^2} + {\left( {m – n} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {a^2} $
$\Leftrightarrow {a^2} – 2mn = 0$
Vậy ${a^2} – 2mn = 0$ là điều kiện cần tìm