Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ có cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC = a$. Kí hiệu $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $O$ qua $K$ và $I$ là giao điểm của CE với mặt phẳng $(OMN).$$1$. Chứng minh $CE$ vuông góc với mặt phẳng $(OMN)$$2$. Tính diện tích của tứ giác $OMIN$ theo $a.$

Lời giải

$1.$ Theo giả thiết ta có $OAEB$ là hình vuông nên $BE \bot OB$ mà $OC  \bot $(OAB) nên $BE \bot (OBC)$. Do đó:
$BE  \bot OM.$
Ta lại có $OM  \bot CB$ (tam giác $OBC$ cân và $M$ là trung điểm $BC$) nên $OM \bot (BEC). $
Suy ra $OM \bot CE.$
Tương tự $ON \bot (AEC$) nên $ON \bot CE.$
Vậy $CE \bot (OMN)$
$2.$ Ta có : $AB \bot (OCE$) và $MN // AB$ (đường trung bình tam giác $ABC$) nên $MN \bot (OCE) $
suy ra $MN \bot OI.$
Từ đó : ${S_{OMIN}} = \frac{1}{2}MN.OI$
Ta có : $MN = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$
$OI $ là đường cao tam giác vuông $COE$ nên :
$\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}
\Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Vậy ${S_{OMIN}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}$