Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Kí hiệu \(S,{S_1},{S_2},{S_3}\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC,OAB,OBC,OCA\). Chứng minh rằng \(\frac{{S_1^2}}{{2S_1^2 + {S^2}}} + \frac{{S_2^2}}{{2S_2^2 + {S^2}}} + \frac{{S_3^2}}{{2S_3^2 + {S^2}}} \le \frac{3}{5}\). Lời giải Đặt \(OA = a,OB = b,OC = c\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) … [Đọc thêm...] vềCho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Kí hiệu \(S,{S_1},{S_2},{S_3}\) lần lượt là diện tích các tam giác \(ABC,OAB,OBC,OCA\).
HHKG VDC
Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác cân,\(AB = AC = 2a\), góc\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\). Tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\)bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AC\)và\(SB\)
Câu hỏi:
Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác cân,\(AB = AC = 2a\), góc\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\). Tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\)bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AC\)và\(SB\)
A. \(\frac{{a\sqrt {15} … [Đọc thêm...] về Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác cân,\(AB = AC = 2a\), góc\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\). Tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\)bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AC\)và\(SB\)
Cho hình chóp\(\frac{{27}}{2}V\)có đáy\(\frac{9}{4}V\)là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), tam giác\(SAD\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)giữa hai đường thẳng\(SA\)và\(BD\)bằng
Câu hỏi:
Cho hình chóp\(\frac{{27}}{2}V\)có đáy\(\frac{9}{4}V\)là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), tam giác\(SAD\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)giữa hai đường thẳng\(SA\)và\(BD\)bằng
A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
C. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).
D. … [Đọc thêm...] về Cho hình chóp\(\frac{{27}}{2}V\)có đáy\(\frac{9}{4}V\)là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), tam giác\(SAD\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)giữa hai đường thẳng\(SA\)và\(BD\)bằng
Cho lăng trụ đứng tam giác\(AB
C. A’B’C’\)có đáy là một tam giác vuông cân tại\(B\),\(AB = BC = a\),\(AA’ = a\sqrt 2 \),\(M\)là trung điểm\(BC\).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AM\)và\(B’C\).
Câu hỏi:
Cho lăng trụ đứng tam giác\(AB
C. A'B'C'\)có đáy là một tam giác vuông cân tại\(B\),\(AB = BC = a\),\(AA' = a\sqrt 2 \),\(M\)là trung điểm\(BC\).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AM\)và\(B'C\).
A. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).
D. \(a\sqrt 3 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) Gọi\(E\)là … [Đọc thêm...] về Cho lăng trụ đứng tam giác\(AB C. A’B’C’\)có đáy là một tam giác vuông cân tại\(B\),\(AB = BC = a\),\(AA’ = a\sqrt 2 \),\(M\)là trung điểm\(BC\).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AM\)và\(B’C\).
Cho hình hộp\(ABCD. A’B’C’D’\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(CC’\)
Câu hỏi:
Cho hình hộp\(ABCD. A'B'C'D'\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(CC'\)
A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Hình hộp\(ABCD. A'B'C'D'\)cótất cả các cạnh đều … [Đọc thêm...] về Cho hình hộp\(ABCD. A’B’C’D’\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(CC’\)
Sử dụng khoảng cách để tính góc.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Câu hỏi:
Sử dụng khoảng cách để tính góc.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng … [Đọc thêm...] về Sử dụng khoảng cách để tính góc. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(H\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(HA = 2HB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Cho lăng trụ tam giác $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $O_{O}^{\top} \mathrm{c}^{\prime} \operatorname{anh} A B$. Góc giữa đường thẳng $A A^{\prime}$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ là $60^{\circ} .$ Gọi $I$ là trung điểm cạnh $B^{\prime} C^{\prime}$. Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $A^{\prime} C$ bằng
Câu hỏi:
Cho lăng trụ tam giác $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $O_{O}^{\top} \mathrm{c}^{\prime} \operatorname{anh} A B$. Góc giữa đường thẳng $A A^{\prime}$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ là $60^{\circ} .$ Gọi $I$ là … [Đọc thêm...] về Cho lăng trụ tam giác $A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $O_{O}^{\top} \mathrm{c}^{\prime} \operatorname{anh} A B$. Góc giữa đường thẳng $A A^{\prime}$ và mặt phẳng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ là $60^{\circ} .$ Gọi $I$ là trung điểm cạnh $B^{\prime} C^{\prime}$. Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $A^{\prime} C$ bằng
Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)bằng
Câu hỏi:
Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)bằng
A. \(\frac{a \sqrt{6}}{3}\)
B. \(\frac{a \sqrt{6}}{6}\)
C. \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\)
D. \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1
Gọi\(O\)là tâm củahình vuông\(ABCD\).
Dohình chóp \(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều nên\(SO … [Đọc thêm...] về Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)bằng
Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\), \(AB = BC = a\),\(\Delta ABO\).\(SA\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng\(SC\)tạo với mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ\(A\)đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\)bằng
Câu hỏi:
Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\), \(AB = BC = a\),\(\Delta ABO\).\(SA\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng\(SC\)tạo với mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ\(A\)đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\)bằng
A. \(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}}= \sqrt {{x^2} - {a^2}} … [Đọc thêm...] về Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\), \(AB = BC = a\),\(\Delta ABO\).\(SA\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng\(SC\)tạo với mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ\(A\)đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\)bằng
Cho hình lăng trụ đều\(ABC. A’B’C’\)có thể tích\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\), tam giác\(AB’C’\)có diện tích là\(\frac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\). Gọi\(M\) là trung điểm của cạnh\(A{A^\prime }\). Khoảng cách từ điểm\(M\) đến mặt phẳng\(\left( {AB’C’} \right)\)bằng
Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ đều\(ABC. A'B'C'\)có thể tích\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\), tam giác\(AB'C'\)có diện tích là\(\frac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\). Gọi\(M\) là trung điểm của cạnh\(A{A^\prime }\). Khoảng cách từ điểm\(M\) đến mặt phẳng\(\left( {AB'C'} \right)\)bằng
A. \(\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
C. \(\frac{{6a\sqrt … [Đọc thêm...] về Cho hình lăng trụ đều\(ABC. A’B’C’\)có thể tích\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\), tam giác\(AB’C’\)có diện tích là\(\frac{{{a^2}\sqrt {19} }}{4}\). Gọi\(M\) là trung điểm của cạnh\(A{A^\prime }\). Khoảng cách từ điểm\(M\) đến mặt phẳng\(\left( {AB’C’} \right)\)bằng