Cho hình hộp\(ABCD. A’B’C’D’\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(CC’\)

Cho hình hộp\(ABCD. A’B’C’D’\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(CC’\)

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Hình hộp\(ABCD. A’B’C’D’\)cótất cả các cạnh đều bằng\(a\)và ba góc đỉnh\(A\)đều bằng\({60^\circ }\)nên\(A’ABD\)là tứ diện đều cạnh\(a\).

Ta có \(d\left( {AB,C{C^\prime }} \right) = d\left( {AB,DD’} \right) = d\left( {DD’,\left( {A’AB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {A’AB} \right)} \right) = h\), với\(h\)là chiều cao tứ diện đều\(A’ABD\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABD\) cạnh a nên ta có \(h = A’G = \sqrt {A'{A^2} – A{G^2}}= \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}= \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy\(d\left( {AB,CC’} \right) = h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).