Cho hình chóp\(\frac{{27}}{2}V\)có đáy\(\frac{9}{4}V\)là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), tam giác\(SAD\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)giữa hai đường thẳng\(SA\)và\(BD\)bằng

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(\frac{{27}}{2}V\)có đáy\(\frac{9}{4}V\)là hình thoi cạnh \(a\),\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), tam giác\(SAD\)đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách\(\frac{{SM}}{{ME}} = 2\)giữa hai đường thẳng\(SA\)và\(BD\)bằng

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

C. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+) Gọilà trung điểm của cạnh. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\SH \bot AD\\SH \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\) .

+) Trong mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), qua\(A\)kẻ đường thẳng\(\Delta \)song song với\(BD\). Gọi \(\left( \alpha\right)\)là mặt phẳng chứa \(\Delta,SA\).

Ta có \(BD\,{\rm{//}}\,\left( \alpha\right)\)\( \Rightarrow d\left( {BD,SA} \right) = d\left( {BD,\left( \alpha\right)} \right)\)\( = d\left( {D,\left( \alpha\right)} \right) = 2.d\left( {H,\left( \alpha\right)} \right)\).

+) Gọi\(P\), \(Q\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của\(H\)trên\(\Delta \)và\(BD\). Vìtứgiác\(ABCD\)là hình thoi nên\(PQ\,{\rm{//}}\,AC\). Ta có \(\left( \alpha\right) \equiv \left( {SAP} \right)\)\( \Rightarrow d(BD,SA) = 2.d\left( {H,\left( {SAP} \right)} \right)\).

+) Gọi\(K\)là hình chiếu của\(H\)trên\(SP\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta\bot HP\\\Delta\bot SH\end{array} \right. \Rightarrow \Delta\bot \left( {SHP} \right) \Rightarrow \Delta\bot HK\).

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HK \bot \Delta }\\{HK \bot SP}\end{array}} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAP} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAP} \right)} \right) = HK\).

+) \(HS = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(HP = HQ = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Suy ra \(HK = \frac{{HP.HS}}{{\sqrt {H{P^2} + H{S^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{{16}} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\)

Vậy\(d(BD,SA) = 2HK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian