Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\), \(AB = BC = a\),\(\Delta ABO\).\(SA\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng\(SC\)tạo với mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ\(A\)đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\)bằng

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\), \(AB = BC = a\),\(\Delta ABO\).\(SA\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\), đường thẳng\(SC\)tạo với mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)một góc \({30^0}\). Khoảng cách từ\(A\)đến mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\)bằng

A. \(AO = \sqrt {A{B^2} – B{O^2}}= \sqrt {{x^2} – {a^2}} \).

B. \(\frac{a}{2}\).

C. \(2a\).

D. \(a\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow AC = 2\sqrt {{x^2} – {a^2}} \)là hình chiếu của\(SC\)trên mặt phẳng\(\left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \left( {\widehat {SC,\left( {SAB} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SC\,,\,SB}} \right) = \widehat {BSC}\). Theo giả thiết ta có \(\widehat {\,BSC\,} = {30^0}\).

Gọi\(M\)là trung điểm của\(AD\). Từ giả thiết, ta có tứ giác \(ABCM\)là hình vuông.

\(CM = AB = a = \frac{1}{2}AD\). Mặt khác vì\(CM\)là đường trung tuyến của tam giác\(ACD\)nên tam giác \(ACD\)vuông tại\(C\)hay\(AC \bot CD\). Lại có:\(CD \bot SA\)\( \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \((SAC)\) kẻ\(AH \bot SC\)tại\(H\). Ta có:\(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot AH\).

Từvà \( \Rightarrow AC = 2\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} – {a^2}}= a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Ta có:\(SB = \frac{{BC}}{{\tan \widehat {\,BSC\,}}} = \frac{a}{{\tan {{30}^\circ }}} = a\sqrt 3 \).

\(S{A^2} = S{B^2} – A{B^2} = 3{a^2} – {a^2} = 2{a^2}\).

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2}\).

Trong tam giác vuông\(SAC\)ta có\(SA = AC = a\sqrt 2 \)\(S\)vuông cân tại\(A\)\( \Rightarrow AH = \frac{{SC}}{2} = a\). Vậy\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = a\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian