Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B’D\) và \(D’C\) tính theo \(a\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{6}\).

B. \(\frac{{\sqrt 6 a}}{6}\).

C. \(\frac{a}{2}\).

D. \(\frac{{\sqrt 6 a}}{3}\).

Lời giải:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(D’C\) và \(C’D\). Kẻ \(IH \bot B’D\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B’C’ \bot D’C\\C’D \bot D’C\end{array} \right. \Rightarrow D’C \bot \left( {B’C’D} \right)\)\( \Rightarrow D’C \bot IH\,\,\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(IH\) là đoạn vuông góc chung của \(B’D\) và \(D’C\)\( \Rightarrow d\left( {B’D;D’C} \right) = IH\).

Ta có: \(\Delta DC’B’\)~ \(\Delta DHI\)\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{B’C’}} = \frac{{DI}}{{DB’}}\)\( \Rightarrow IH = \frac{{DI.B’C’}}{{DB’}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 a}}{6}\).