Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(AA’ = a\sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(D’C\) bằng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(AA’ = a\sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(D’C\) bằng

A. \(\frac{{\sqrt 7 a}}{7}\).

B. \(\frac{{\sqrt {21} a}}{7}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{7}\).

D. \(\frac{{\sqrt {14} a}}{7}\).

Lời giải:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\). Kẻ \(AH \bot A’O\).

Ta có: \(A’B\parallel D’C\)\( \Rightarrow D’C\parallel \left( {A’BD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {D’C;BD} \right) = d\left( {D’C;\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {A’BD} \right)} \right)\).

Mặt khác \(\frac{{d\left( {C;\left( {A’BD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right)}} = \frac{{OC}}{{OA}} = 1\)\( \Rightarrow d\left( {D’C;BD} \right) = d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot A’A\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A’AO} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot A’O\\AH \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A’BD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {A’BD} \right)} \right) = AH\).

Xét tam giác \(A’AO\) vuông tại \(A\): \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A'{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {21} a}}{7}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian.