Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)bằng

Cho hình chóp tứ giác đềucó tất các các cạnhbằng. Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)bằng

A. \(\frac{a \sqrt{6}}{3}\)

B. \(\frac{a \sqrt{6}}{6}\)

C. \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\)

D. \(\frac{a \sqrt{3}}{2}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1

Gọi\(O\)là tâm củahình vuông\(ABCD\).

Dohình chóp \(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều nên\(SO \bot (ABCD)\).

Ta có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{CO}} = 2\). Suy ra\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi\(E\)là trung điểm của cạnh\(BC\)\( \Rightarrow OE \bot BC\).

Kẻ\(OH \bot SE,(H \in SE)\,(1)\).

\(\Delta ABD = \Delta SBD\).

Từ\((1)\)và\((2)\)suy ra\(OH \bot (SBC) \Rightarrow OH = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).

\(SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}}= \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Cách 2

Gọi\(O\)là tâm của hình vuông\(ABCD\).

Do\(S.ABCD\)là hình chóp tứ giác đều nên\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}}\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.SO.\frac{1}{2}.BA. BC = \frac{1}{6}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Mặt khác, tam giác\(SBC\)là tam giác đều cạnhanên\({S_{\Delta SBC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3 \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Cách 3

Chọn hệ trục tọa độ\(Oxyz\)với\(O \equiv A\)như hình vẽ.

Có\(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),D\left( {a;0;0} \right),C\left( {a;a;0} \right)\),\(S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\), với\(AB = a,SH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(\overrightarrow {SB}= \left( { – \frac{a}{2};\frac{a}{2}; – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SB} \) cùng phương với \(\overrightarrow u= \left( {1; – 1;\sqrt 2 } \right)\).

\(\overrightarrow {SC}= \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2}; – \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SC} \)cùng phương với \(\overrightarrow v= \left( {1;1; – \sqrt 2 } \right)\).

Ta có \([\overrightarrow u,\overrightarrow v ] = \left( {0;2\sqrt 2;2} \right)\).

Mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)đi qua điểm\(B\left( {0;a;0} \right)\)và nhận vectơ\(\left( {0;\sqrt 2;1} \right)\)làm một vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình \(\left( {SBC} \right)\) là: \(0\left( {x – 0} \right) + \sqrt 2 \left( {y – a} \right) + 1\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 y + z – \sqrt 2 a = 0\).

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{| – \sqrt 2 a|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {1^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).