Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy hình vuông cạnh \(a\), \(AA’ = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {A’BD} \right)\).

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy hình vuông cạnh \(a\), \(AA’ = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {A’BD} \right)\).

A. \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{5}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

Lời giải:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) suy ra \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Dựng \(AH \bot A’O\) (1) \(\left( {H \in A’O} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot AA’\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {A’AO} \right)\) nên \(BD \bot AH\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(AH \bot \left( {A’BD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = AH\)

Do đó \(d\left( {C,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = AH\)\( = \frac{{AA’.AO}}{{\sqrt {A{{A’}^2} + A{O^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} }} = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian.