Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) bằng \(\widehat {BAC}\). Tính \(P = \tan \widehat {BAC} \cdot \cos \widehat {ASB}\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBC)\) bằng \(\widehat {BAC}\). Tính \(P = \tan \widehat {BAC} \cdot \cos \widehat {ASB}\).

Lời giải

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) xuống \(SB,SC\).

Từ đây dẫn đến \(SC \bot \left( {AHK} \right)\) hay \(HK \bot SC\), vì thế \(\widehat {AKH} = \angle \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {BAC}\).

Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha ,\widehat {BSA} = \beta \) với \(\alpha ,\beta  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), \(AB = x\) với \(x > 0\).

Khi đó ta có \(SA = \frac{x}{{\tan \beta }},AH = x\cos \beta ,\,\,AC = \frac{x}{{\cos \alpha }}\).

Do \(\Delta AHK\) vuông tại \(H\) nên

\({\sin ^2}\alpha  = \frac{{A{H^2}}}{{A{K^2}}} = {x^2}{\cos ^2}\beta .\left( {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = {x^2}{\cos ^2}\beta .\left( {\frac{{{{\tan }^2}\beta }}{{{x^2}}} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{x^2}}}} \right)\)

suy ra \({\sin ^2}\alpha  = {\sin ^2}\beta  + {\cos ^2}\beta .{\cos ^2}\alpha \), kéo theo \({\tan ^2}\alpha .{\cos ^2}\beta  = 1\).

Do \(\alpha ,\beta \) đều là góc nhọn nên \(\tan \alpha .\cos \beta  = 1\).