Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác vuông cân tại\(C\). Gọi\(H\)là trung điểm\(AB\). Biết rằng\(SH\)vuông góc với mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\)và\(AB = SH = a\). Gọi\(\alpha \)là số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và\(\left( {SAC} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\alpha\in \left( {{{90}^\circ };{{100}^\circ }} \right)\).
B. \(\alpha\in \left( {{{80}^\circ };{{90}^\circ }} \right)\).
C. \(\alpha\in \left( {{{60}^\circ };{{70}^\circ }} \right)\).
D. \(\alpha\in \left( {{{70}^\circ };{{80}^\circ }} \right)\).
GY:
Dễ thấy\(\Delta SAC = \Delta SBC\).
Ta có \(SA = SB = \sqrt {S{H^2} + A{H^2}}= \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}= \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
\(AC = BC = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\),\(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}}= \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}= \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Kẻ\(AK \bot SC\) tại \(K\)\( \Rightarrow BK \bot SC\). Suy ra,\(\widehat {\left( {\left( {SAC} \right)\,,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {(AK\,,\,BK)} = \alpha \)
Dễ thấy\(SC \bot (ABK)\)mà\(HK \subset (ABK)\), suy ra\(SC \bot HK\).
Xét tam giác\(SHC\)vuông tại\(H\), ta có\(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\),\(HK = \frac{{HS \cdot HC}}{{\sqrt {H{S^2} + H{C^2}} }} = \frac{{a \cdot \frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
Ta có\(\tan \widehat {AKH} = \frac{{AH}}{{HK}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Vì\(\Delta SAC = \Delta SBC\)\( \Rightarrow AK = BK\).
\(\Delta ABK\)cân tại\(K\),\(H\)là trung điểm\(AB\) \( \Rightarrow \widehat {\,AKB\,} = 2\widehat {\,AKH}\,\)\( \Rightarrow \,\widehat {AKB}\, \approx {96^\circ }{22^\prime }\).
Do đó\(\alpha\approx {83^\circ }{38^\prime }\). Vậy\(\alpha\in \left( {{{80}^\circ }\,;\,{{90}^\circ }} \right)\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian
Để lại phản hồi