Cho hình hộp \(ABC

D. A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\). Cho \(AB = 2a\) \(AD = 4a\) \(AA’ = 8a\). Gọi \(E\), \(N\), \(M\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(DE\), \(A’B\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(MN\) và \(AD’\).

Thì\(\tan \alpha \) là

Câu hỏi:

Cho hình hộp \(ABC

D. A’B’C’D’\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của \(A’\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(AB\). Cho \(AB = 2a\) \(AD = 4a\) \(AA’ = 8a\). Gọi \(E\), \(N\), \(M\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(DE\), \(A’B\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(MN\) và \(AD’\).

Thì\(\tan \alpha \) là

A. \(\tan \alpha= 2\).

B. \(\tan \alpha= \sqrt 2 \).

C. \(\tan \alpha= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\tan \alpha=- 2\).

GY:

Cách 1

Gọi \(F\),\(I\) lần lượt là trung điểm của\(DC\) và \(D’C’\) thì \(HI\,{\rm{//}}\,{\rm{AD’}}\).

Suy ra góc \(\alpha= \left( {\widehat {MN\,;\,AD’}} \right) = \left( {\widehat {MN\,;\,HI}} \right)\).

Gọi \(K\)là giao điểm của \(HI\) và \(MN\).

*Tính \(\widehat {HKM}\).

+) \(FH \bot AB\), \(FH \bot A’H\). Suy ra \(FH \bot \left( {AA’BB’} \right)\).

+) Vẽ \(NL\,{\rm{//}}\,\,FI\), \(L \in HI\), có \(\frac{{NL}}{{FI}} = \frac{{HN}}{{HF}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow NL = \frac{3}{4}FI = \frac{3}{4}AA’ = \frac{3}{4}.8a = 6a\).

+) \(MH\) là đường trung bình \(\Delta AA’B\) nên \(MH = \frac{{AA’}}{2} = 4a\)

+) \(MN = \sqrt {M{H^2} + H{N^2}}= \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}}= 5a\),

+) \(HL = \sqrt {H{N^2} + L{N^2}}= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {6a} \right)}^2}}= 3a\sqrt 5 \).

+) \(MH\,{\rm{//}}\,NL\)\( \Rightarrow \frac{{KM}}{{KN}} = \frac{{KH}}{{KL}} = \frac{{MH}}{{LN}} = \frac{{4a}}{{6a}} = \frac{2}{3}\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{KM}}{2} = \frac{{KN}}{3} = \frac{{MN}}{5} = \frac{{5a}}{5} = a\\\frac{{KH}}{2} = \frac{{KL}}{3} = \frac{{HL}}{5} = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}KM = 2a\\KH = \frac{{6a\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\)

+) \(cos\widehat {MKH} = \frac{{K{M^2} + K{H^2} – M{H^2}}}{{2.KM.KH}}\)\( = \frac{{4{a^2} + \frac{{36}}{5}{a^2} – 16{a^2}}}{{2.2a.\frac{{6a\sqrt 5 }}{5}}} =- \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow c{\rm{os}}\alpha= \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

+) \({\tan ^2}\alpha= \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} – 1 = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} – 1 = 4\) \( \Rightarrow \tan \alpha= 2\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian