Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thoi cạnh\(a\). Biết\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), cạnh bên\(SA = a\sqrt 3 \)và vuông góc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng\((SAC)\)và\((SCD)\)là\(\alpha \). Tính\(\alpha \).

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thoi cạnh\(a\). Biết\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\), cạnh bên\(SA = a\sqrt 3 \)và vuông góc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng\((SAC)\)và\((SCD)\)là\(\alpha \). Tính\(\alpha \).

A. \({39^\circ }{13^\prime }\).

B. \({78^0}{28^\prime }\).

C. \({39^\circ }{12^\prime }\).

D. \({39^\circ }{14^\prime }\).

GY:

Kẻ\(AE \bot CD\)tại\(E\), kẻ\(AH \bot SE\)tại\(H\)\((1)\).

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AE}\\{CD \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SAE) \Rightarrow CD \bot AH\)\((2)\).

Từ\((1)\)và\(S.ABCD\)suy ra\(AH \bot (SCD) \Rightarrow AH \bot SC\) \((3)\).

Kẻ\(AK \bot SC\)tại\({60^\circ }\)\((4)\).

Từ\((3)\)và\((4)\)suy ra\(SC \bot (AHK) \Rightarrow SC \bot HK\).

\( \Rightarrow \widehat {((SAC),(SCD))} = \widehat {(AK,HK)} = \widehat {AKH} = \alpha \).

Ta có\(AH = d\left( {A\,,\,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Theo giả thiết\(\widehat {BAD} = {60^\circ }\)\( \Rightarrow \widehat {ADC} = {120^\circ } \Rightarrow \widehat {ADE} = {60^\circ }\).

Xét tam giác\(AED\)vuông tại\(OAB\)có\(AE = A

D. \sin \widehat {ADE} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác\(SAE\)vuông tại\(A\)có\(2{a^2}\).

Do tam giác\(ABD\)đều cạnh\(a\)nên ta có\(AC = a\sqrt 3 \)

\(16{a^3}\sqrt 3 \)\( \Rightarrow \sin \alpha= \frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \alpha\approx {39^\circ }{14^\prime }\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian