Cho hình chóp\(S.ABC\)có\(SA\),\(SB\),\(SC\)đôi một vuông góc và\(SA = SB = SC\)\(M\)là trung điểm của\(AB\). Tính góc giữa hai đường thẳng\(SM\)và\(BC\).

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABC\)có\(SA\),\(SB\),\(SC\)đôi một vuông góc và\(SA = SB = SC\)\(M\)là trung điểm của\(AB\). Tính góc giữa hai đường thẳng\(SM\)và\(BC\).

A. \({30^\circ }\).

B. \({60^\circ }\).

C. \({90^\circ }\).

D. \({120^\circ }\).

GY:

Cách 1

Gọi\(N\)là trung điểm\(AC\). Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,BC\).\( \Rightarrow \left( {\mathop {SM,BC}\limits^\^ } \right) = \left( {\mathop {SM,SN}\limits^\^ } \right) = \mathop {SMN}\limits^\^ \)

Ta có \(MN = \frac{1}{2}BC\), \(SM = \frac{1}{2}AB\),\(SN = \frac{1}{2}AC\) \(\left( 1 \right)\).

Mặt khác\(SA\),\(SB\),\(SC\)đôi một vuông góc và\(SA = SB = SC\)

\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SAC \Rightarrow AB = BC = AC\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) ta có \(MN = SM = SN\)\( \Rightarrow \Delta SMN\)đều\(\mathop { \Rightarrow SMN}\limits^{}= {60^0}\). Vậy\(\left( {\mathop {SM,BC}\limits^\^ } \right) = \mathop {SMN}\limits^\^= {60^0}\).

Cách 2

Đặt \(SA = SB = SC = a\).

Mặt khác\(SA\),\(SB\),\(SC\)đôi một vuông góc và\(SA = SB = SC\)

\( \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SBC = \Delta SAC \Rightarrow AB = BC = AC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \Delta ABC\)là tam giác đều cạnh\(a\sqrt 2 \).

+) \(\overrightarrow {SM}\cdot \overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {SA}+ \overrightarrow {SB} } \right).\left( {\overrightarrow {SC}- \overrightarrow {SB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}.\left( {\overrightarrow {SA}\cdot \overrightarrow {SC}- \overrightarrow {SA}.\overrightarrow {SB}+ \overrightarrow {SB}\cdot \overrightarrow {SC}- {{\overrightarrow {SB} }^2}} \right)\)=\( – \frac{1}{2}{\overrightarrow {SB} ^2}\)=\( – \frac{1}{2}{a^2}\).

Suy ra \({\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}\left( {\mathop {SM,BC}\limits^\^ } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SM} \,,\,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \left| {\frac{{\overrightarrow {SM}\cdot \overrightarrow {BC} }}{{SM.BC}}} \right| = \left| {\frac{{ – \frac{1}{2}{a^2}}}{{{a^2}}}} \right| = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\mathop {SM,BC}\limits^\^ } \right)\)\( = {60^\circ }\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian