Cho hình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\),\(O\)là giao điểm của\(AC\)và\(BD\), biết. Gọi\(\alpha \)là góc giữa\(SA\)với mặt phẳng\((SBC)\). Tính\(\sin \alpha \).

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều\(S.ABCD\),\(O\)là giao điểm của\(AC\)và\(BD\), biết. Gọi\(\alpha \)là góc giữa\(SA\)với mặt phẳng\((SBC)\). Tính\(\sin \alpha \).

A. \(\sin \alpha= \frac{4}{{\sqrt {30} }}\).

B. \(\sin \alpha= \frac{2}{{\sqrt {15} }}\).

C. \(\sin \alpha= \frac{2}{{\sqrt {30} }}\).

D. \(\sin \alpha= \frac{4}{{\sqrt {15} }}\).

GY:

Gọi\(H\)là hình chiếu của\(A\)trên mặt phẳng\((SBC)\).

Ta có\(\widehat {\left( {SA\,,\,(SBC)} \right)} = \widehat {ASH} = \alpha \)và\(\sin \alpha= \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}\).

Ta có\(AO \cap (SBC) = C\),suy ra\(\frac{{d\left( {A\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\).

Kẻ\(OI \bot BC\)và\(OK \bot SI\)\( \Rightarrow OK \bot (SBC)\)và\(OK = d\left( {O\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Ta có\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OK = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Suy ra\(d\left( {O\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow d\left( {A\,,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

\(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}= \sqrt {{a^2} + \frac{{2{a^2}}}{4}}= \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Vậy\(\sin \alpha= \frac{{d\left( {A\,,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{4}{{\sqrt {30} }}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian