Cho hình chóp\(S.ABCD\,\)có đáy\(ABCD\,\)là hình thoi cạnh\(a\,\);\(\widehat {ABC} = {60^\circ }\,\)và \(SB = a\,\). Hình chiếu vuông góc của điểm\(S\)lên mặt phẳng\((ABC)\)trùng với trọng tâm của tam giác\(ABC\). Gọi\(\varphi \)là góc giữa đường thẳng\(SB\)và mặt phẳng\((SCD)\). Tính\(\sin \varphi \).
A. \(\sin \varphi= \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\sin \varphi= \frac{1}{4}\).
C. \(\sin \varphi= \frac{1}{2}\).
D. \(\sin \varphi= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
GY:
Gọi\(H\) là trọng tâm của tam giác\(ABC\).Theo giả thiết ta có \(SH \bot (ABC)\).
Gọi\(\varphi \)là góc tạo bởi đường thẳng\(SB\)và mặt phẳng\(\left( {SCD} \right)\).
Ta có \(\sin \varphi= \frac{{d\left( {B\,,\,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SB}} = \frac{3}{2}\frac{{d\left( {H\,,\,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{SB}}\).
Kẻ\(HP \bot SC\) tạiP.
+) \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow CH \bot AB \Rightarrow CH \bot CD\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot CH\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow CD \bot HP\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}HP \bot SC\\HP \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HP \bot \left( {SCD} \right)\)\( \Rightarrow HP = d\left( {H\,,\,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Do đáy\(ABCD\)là hình thoi cạnh\(a\)và\(\widehat {ABC} = {60^\circ }\)nên \(\Delta ABC\)đều\( \Rightarrow HC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Mà\(BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} – B{H^2}}= \sqrt {{a^2} – \frac{{3{a^2}}}{9}}= \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\(d\left( {H\,,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{SH \cdot HC}}{{\sqrt {S{H^2} + H{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\)\( \Rightarrow {\rm{d}}(B\,;\,(SCD)) = \frac{{\sqrt 2 a}}{2} \Rightarrow \sin \varphi= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian
Để lại phản hồi