Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\),\(AB = a\), cạnh bên\(SA\)vuông góc với\((ABCD)\)và\(SA = 2a\), gọi\(M\)là trung điểm cạnh\(SD\). Góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {MBC} \right)\)và\(\left( {ABCD} \right)\)bằng

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABCD\)có đáy\(ABCD\)là hình thang vuông tại\(A\)và\(B\),\(AB = a\), cạnh bên\(SA\)vuông góc với\((ABCD)\)và\(SA = 2a\), gọi\(M\)là trung điểm cạnh\(SD\). Góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {MBC} \right)\)và\(\left( {ABCD} \right)\)bằng

A. \({60^\circ }\).

B. \({30^\circ }\).

C. \({45^\circ }\).

D. \({120^\circ }\).

GY:

Cách 1

Gọi\(N\)là trung điểm\(SA\). Khi đó\(MN\,{\rm{//}}\,AD \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC \Rightarrow N \in \left( {MBC} \right)\).

Khi đó ta có\(\left( {MBC} \right) \equiv \left( {BCMN} \right)\).

Xét hai mặt phẳng\(\left( {BCMN} \right)\)và\(\left( {ABCD} \right)\) ta có:

+\(\left( {BCMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\).

+\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot BN}\end{array}} \right.\).

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\)và mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\)bằng góc giữa hai đường thẳng\(AB\)và\(BN\)bằng góc\(\widehat {ABN}\).

+ Trong tam giác\(ABN\)ta có:\(AB = a\),\(AN = \frac{{SA}}{2} = a\).

Suy ra\(\tan \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}} = 1 \Rightarrow \widehat {ABN} = {45^\circ }\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng\((MBC)\)và\(\left( {ABCD} \right)\)bằng\({45^\circ }\).

Cách 2

Đặt\(BC = b;AD = 2c\).

Chọn hệ trục tọa độ\(Oxyz\)với\(O \equiv A\)như hình vẽ.

Ta có:\(A\left( {0;0;0} \right)\);\(B\left( {0;a;0} \right)\);\(C\left( {b;a;0} \right);D\left( {2c;0;0} \right);S\left( {0;0;2a} \right)\)\( \Rightarrow M(c;0;a)\).

+\(\overrightarrow {BM}= \left( {c; – a;a} \right);\overrightarrow {BC}= \left( {b;0;0} \right)\).

+ Gọi\(\vec n\)là véc tơ pháp tuyến của\((MBC)\)ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec n \bot \overrightarrow {BM} }\\{\vec n \bot \overrightarrow {BC} }\end{array}} \right. \Rightarrow \)chọn\(\vec n = \frac{1}{{ab}}[\overrightarrow {BM},\overrightarrow {BC} ] = \left( {0;1;1} \right)\).

Một véc tơ pháp tuyến của\(\left( {ABCD} \right)\)là\(\overrightarrow {{n^\prime }}= \frac{1}{{2a}}\overrightarrow {SA}= \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi\(\alpha \) làgóc giữa hai mặt phẳng\((MBC)\)và mặt phẳng\((ABCD)\).

Ta có\(\cos \alpha= \frac{{\left| {\vec n \cdot {{\vec n}^\prime }} \right|}}{{|\vec n| \cdot |\vec n|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \alpha= {45^\circ }\).

Vậygóc giữa hai mặt phẳng \((MBC)\)và mặt phẳng\(\left( {ABCD} \right)\) bằng\({45^\circ }\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian