Đề bài: Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$. Lấy $M\in AA'$ sao cho $\frac{AM}{AA'}=m$, $B\in CC'$ sao cho $\frac{CN}{CC'}=n$. Mặt phẳng chứa $MN$ song song $BD$ chia $BB'$ theo tỉ số nào? Lời giải Ta có: Mp $AA’C’C$ cắt mp $BB’D’D$ theo giao tuyến $EE’$. $MN$ cắt $EE’$ tại $F$. Qua $F$ kẻ $KI//BD$. Mp chứa […]
Hình học không gian
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$ có $\frac{AD}{BC}=k$. Lấy $M\in AB$ sao cho $\frac{AM}{AB}=n (0
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$ có $\frac{AD}{BC}=k$. Lấy $M\in AB$ sao cho $\frac{AM}{AB}=n (0 Lời giải Dễ thấy thiết diện là hình bình hành. Do $MN//BC$:$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=n\Rightarrow MN=nBC$.Có $BM=AB-AM=(1-n)AB\Rightarrow \frac {BM}{BA}=1-n$ Do $MQ//AD$ nên $\frac{MQ}{AD}=\frac{BM}{BA}=1-n\Rightarrow MQ=(1-n)AD$.Muốn thiết diện là hình thoi, phải có $MN=MQ$ $\Leftrightarrow nBC=(1-n)AD\Leftrightarrow \frac{n}{1-n}=\frac{AD}{BC}=k\Rightarrow n=\frac{k}{1+k}$
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ trong đó $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau. Kẻ $OH \bot (ABC)$.1. Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.2. Chứng minh hệ thức $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$.
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ trong đó $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau. Kẻ $OH \bot (ABC)$.1. Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.2. Chứng minh hệ thức $\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$. Lời giải 1.Kẻ $OH \bot (ABC), AH \cap BC=M$. Ta có : $OH \bot BC; BC \bot OA$ Vì $( […]
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $P$ là điểm nằm trên $BD$, mà $P$ không trùng với trung điểm của $BD$.a) $MP$ có cắt $AD$ không, tại sao?b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ và các đường thẳng $CD, AD$. Hai giao điểm này có vị trí thế nào so với điểm $M$?c) Bạn có nhận xét gì về giả thiết của bài toán?
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $P$ là điểm nằm trên $BD$, mà $P$ không trùng với trung điểm của $BD$.a) $MP$ có cắt $AD$ không, tại sao?b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ và các đường thẳng $CD, AD$. Hai […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Gọi $K$ là trung điểm của $DD"$. Tìm khoảng cách giữa $CK, A'D$.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Gọi $K$ là trung điểm của $DD"$. Tìm khoảng cách giữa $CK, A'D$. Lời giải cần giải chi tiết (đáp án $\frac{a}{3}$).
Đề bài: Cho một lăng trụ đứng $ABC A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$, góc \(\widehat {ABC} = \alpha\), $BC’$ hợp với đáy $AB$ góc \(\beta\). Gọi $I$ là tung điểm của $AA’$. Biết rằng\(\widehat {BIC}\) là góc vuông.$1$. Chứng tỏ rằng $BIC$ là tam giác vuông cân.$2$. Chứng minh rằng: \(\tan^2\alpha + \tan^2\beta = 1\)
Đề bài: Cho một lăng trụ đứng $ABC A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác cân đỉnh $A$, góc \(\widehat {ABC} = \alpha\), $BC’$ hợp với đáy $AB$ góc \(\beta\). Gọi $I$ là tung điểm của $AA’$. Biết rằng\(\widehat {BIC}\) là góc vuông.$1$. Chứng tỏ rằng $BIC$ là tam giác vuông cân.$2$. Chứng minh rằng: […]
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ có cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC = a$. Kí hiệu $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $O$ qua $K$ và $I$ là giao điểm của CE với mặt phẳng $(OMN).$$1$. Chứng minh $CE$ vuông góc với mặt phẳng $(OMN)$$2$. Tính diện tích của tứ giác $OMIN$ theo $a.$
Đề bài: Cho tứ diện $OABC$ có cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC = a$. Kí hiệu $K, M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $O$ qua $K$ và $I$ là giao […]
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC,BC$. Trong $\Delta BCD$ lấy điểm $M$ sao cho hai đường thẳng $KM,CD$ cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(HKM)$
Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC,BC$. Trong $\Delta BCD$ lấy điểm $M$ sao cho hai đường thẳng $KM,CD$ cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(HKM)$ Lời giải Gọi $I=KM\cap CD$.Ta có hai trường hợp :Trường hợp $1:$ Điểm $I$ thuộc […]
Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. Đặt $AM = m, CN = n$.$1$. Tính thể tích của hình chóp $B.AMNC$ (đỉnh $B$, đáy $AMNC$).$2$. Tính $MN$ theo $a, m, n$ và tìm điều kiện đối với $a, m, n$ để góc \(\widehat {MIN}\) là góc vuông.
Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $I$ ($A$ đối diện với $C$). Các nửa đường thẳng $Ax, Cy$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm $M$ không trùng với $A$ trên $Ax$, cho điểm $N$ không trùng với $C$ trên $Cy$. […]
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),SB=2a,SC=a\sqrt{2} ,\widehat{SBC}=90^0$$a.$ Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC),SB=2a,SC=a\sqrt{2} ,\widehat{SBC}=90^0$$a.$ Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$$b.$ Tính diện tích $\Delta ABC$ Lời giải $a.$ Hạ $SI\bot BC$ tại $I$ suy ra :$AI\bot BC$ định lí ba đường vuông gócSuy ra góc giữa hai mặt phẳng […]