(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;1} \right)\) có bán kính bằng \(4\) và mặt cầu

\(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {2;1;5} \right)\) có bán kính bằng 2. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\). Đặt \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giá trị \(M + m\) bằng

A. \(8\).

B. \(9\).

C. \(8\sqrt 3 \).

D. \(\sqrt {15} \).

Lời giải:

Chọn B

\(\left( {{S_1}} \right)\) có bán kính \({R_1} = 4\), \(\left( {{S_2}} \right)\) có bán kính \({R_2} = 2\).

Nhận xét: \({R_1} – {R_2} < IJ = 4 < {R_1} + {R_2}\) nên hai mặt cầu này cắt nhau.

Vì \({R_2} = \frac{1}{2}{R_1}\) nên theo định lý Talet suy ra \(J\) là trung điểm đoạn \(MI\) nên \(M\left( {2;1;9} \right)\).

\(\left( P \right)\) qua \(M\left( {2;1;9} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right),\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) nên phương trình \(\left( P \right)\) có dạng: .

Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 8c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow 3{c^2} = {a^2} + {b^2}\).

Nếu \(c = 0\) thì \(a = b = 0\)(vô lý) nên \(c \ne 0\). Không mất tính tổng quát, chọn \(c = 1\), suy ra

\({a^2} + {b^2} = 3\).

Do đó tồn tại \(t \in \left[ {0;2\pi } \right]\) sao cho \(a = \sqrt 3 \sin t,b = \sqrt 3 \cos t\).

Mặt khác: \(d \equiv d\left( {O,\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {2a + b + 9c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t + 9} \right|}}{2}\)\( = \frac{{2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t + 9}}{2}\),

(vì \(2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t + 9 > 0,\forall t \in \left[ {0;2\pi } \right]\)).

Biến đổi ta được: \(2\sqrt 3 \sin t + \sqrt 3 \cos t = 2d – 9\).

Điều kiện có nghiệm:

\({\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \ge {\left( {2d – 9} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 4{d^2} – 36d + 66 \le 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{9 – \sqrt {15} }}{2} \le d \le \frac{{9 + \sqrt {15} }}{2}\).

Vậy \(M = \frac{{9 + \sqrt {15} }}{2},m = \frac{{9 – \sqrt {15} }}{2}\) nên \(M + m = 9\).