(Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), xét ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Biết rằng mặt cầu \((S):{(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 3)^2} = 25\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) là
A. 1.
B. \(2.\)
C. 3.
D. 5.
Lời giải:
Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Với giả thiết \(\frac{1}{a} – \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm \(H(1; – 1;1)\).
Mặt cầu \((S)\): \({(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} + {(z – 3)^2} = 25\) có tâm \(I(2;1;3),{R_{mc}} = 5\).
Ta gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \((ABC)\).
\(IK = \sqrt {R_{mc}^2 – {r^2}} = 3\) và ta thấy \(IH = 3\) và \(IH \ge IK\) nên ta có \(H\) trùng với điểm \(K\).
\((ABC)\) qua \(H(1; – 1;1)\) và có VTPT \(\vec n = \overrightarrow {HI} = (1;2;2) \Rightarrow x + 2y + 2z – 1 = 0 \Rightarrow \frac{x}{1} + \frac{y}{{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 1\).
Vậy \(a + b + c = 2\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời