(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A(4;6;2),B(2; – 2;0)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc \((P)\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng
A. \(4\pi \).
B. \(\pi \).
C. \(6\pi \).
D. \(3\pi \).
Lời giải:
Chọn C
Cách 1:
Do \(BHA = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc mặt cầu đường kính \(AB,H \in (P)\), do đó, \(H\) chạy trên đường tròn là giao của mặt cầu đường kính \(AB\) và \((P)\). Đường tròn này có tâm là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \((P)\) với \(I\) là trung điểm của \(AB\), bán kính bằng \(\frac{1}{2}\) độ dài hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \((P)\).
Ta có \(\overrightarrow {BA} = (2;8;2);\overrightarrow {{n_P}} = (1;1;1),\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{n_p}} } \right) = \alpha \)
Ta có \(|\cos \alpha | = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{|\overrightarrow {BA} | \cdot \left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}\)
\(r = \frac{1}{2}|\overrightarrow {BA} | \cdot |\sin \alpha | = \frac{1}{2}|\overrightarrow {BA} | \cdot \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt 6 S = \pi {r^2} = 6\pi \)
Cách 2: Ta có \(A{B^2} = 72,d(A,(P)) = \frac{{12}}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 \), vậy hình chiếu vuông góc của \(AB\) trên \((P)\) có độ dài là \(\sqrt {A{B^2} – {d^2}} = 2\sqrt 6 \), bán kính \(r = \sqrt 6 .S = \pi {r^2} = 6\pi \)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời