Câu hỏi:
(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\) cho đường tròn \((C)\) là giao tuyến của mặt phẳng tọa độ \((xOy)\) với mặt cầu \((S):{(x – 6)^2} + {(y – 6)^2} + {(z + 3)^2} = 41\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua các điểm \(A(0;0;12),B(0;4;8)\). Với \(M,N\) là các điểm thay đổi thứ tự trên \((C)\) và \(d\). Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(MN\) gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 3,5.
B. 2,35.
C. 1,25.
D. 2,92.
Lời giải:
Phưong trình \((C):{(x – 6)^2} + {(y – 6)^2} = 32\) với tâm \(I(6;6)\) và bán kính \(R = 4\sqrt 2 \).
Gọi \(F = (d) \cap Oy,IK \bot Oy,D = IK \cap (C),G = IF \cap (C),ML \bot Oy\). Như vậy đề \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhẩt thì \(M\) phải thuộc cung nhỏ .
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}KH \bot (d):NL \bot (d)\\LK = x\end{array}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\frac{{NL}}{{KH}} = \frac{{FL}}{{FK}}\\KH = d(K:(d)) = 3\sqrt 2 \end{array}\end{array} \Rightarrow NL = KH\frac{{6 – x}}{6} = \frac{{6 – x}}{{\sqrt 2 }}} \right.} \right.\\LM = 6 – \sqrt {{R^2} – {d^2}(I;(ML))} = 6 – \sqrt {32 – K{L^2}} = 6 – \sqrt {32 – {x^2}} \\MN = \sqrt {M{L^2} + L{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{6 – x}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {6 – \sqrt {32 – {x^2}} } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{(6 – x)}^2}}}{2} + {{\left( {6 – \sqrt {32 – {x^2}} } \right)}^2}} = f(x)\end{array}\)
Xét hàm số \(y = f(x) = \sqrt {\frac{{{{(6 – x)}^2}}}{2} + {{\left( {6 – \sqrt {32 – {x^2}} } \right)}^2}} ,\forall x \in [ – 4\sqrt 2 ;4\sqrt 2 ]\).
\(\begin{array}{l}f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 12x – (x + 6)\sqrt {32 – {x^2}} = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} \approx 3,5145 \in [ – 4\sqrt 2 ;4\sqrt 2 ]\\ \Rightarrow \min f(x) = f(3,5145) \approx 2,35488\end{array}\)\(\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời