(Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z = 0\) và điểm \(M(0;1;0)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và cắt \((S)\) theo đường tròn \((C)\) có chu vi nhỏ nhất. Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc đường tròn \((C)\) sao cho \(ON = \sqrt 6 \). Tính \({y_0}\).

Câu hỏi:

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Lời giải:.

Nhận thấy rằng, mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( – 1;2;1)\), bán kính \(R = \sqrt 6 \) và điểm \(M\) là điểm nằm trong mặt cầu này. Gọi \(r\) là bán kính hình tròn \((C)\) và \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \((P)\). Dễ thấy rằng \(H\) là tâm đường tròn \((C)\). Khi đó, ta có \(r = \sqrt {{R^2} – I{H^2}} \ge \sqrt {{R^2} – I{M^2}} .\)\(\)

Vậy để \((C)\) có chu vi nhỏ nhất thì \(r\) nhỏ nhất khi đó \(H\) trùng với \(M\).

Khi đó mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(0;1;0)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IM} = \) \((1; – 1; – 1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \(x – (y – 1) – z = 0 \Leftrightarrow x – y – z = – 1.\)\(\)

Điểm \(N\) vừa thuộc mặt cầu \((S)\) vừa thuộc mặt phẳng \((P)\) và thỏa \(ON = \sqrt 6 \) nên tọa độ của \(N\)

thỏa hệ phương trình.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 + 2{x_0} – 4{y_0} – 2{z_0} = 0\\x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 6\\{x_0} – {y_0} – {z_0} = – 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2{x_0} – 4{y_0} – 2{z_0} = – 6\\x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 6\\{x_0} – {y_0} – {z_0} = – 1.\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)\(\)

Lấy phương trình đầu trừ hai lần phương trình thứ ba ta được \( – 2{y_0} = – 4 \Leftrightarrow {y_0} = 2\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC