Câu hỏi:
(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;0;0)\), \(B(0; – 2;3)\), \(C(1;1;1)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(A\), \(B\) sao cho khoảng cách từ \(C\) đến \((P)\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\). Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của \((P)\) và trục \(Oy\).
A. \(M(0; – 1;0)\) hoặc \(M\left( {0;\frac{{23}}{{37}};0} \right)\).
B. \(M(0;1;0)\) hoặc \(M\left( {0; – \frac{{23}}{{37}};0} \right)\).
C. \(M(0; – 1;0)\) hoặc \(M\left( {0; – \frac{{23}}{{37}};0} \right)\).
D. \(M(0;1;0)\) hoặc \(M\left( {0; – \frac{{23}}{{37}};0} \right)\).
Lời giải:
Chọn D
Gọi \({\vec n_{(P)}} = (a;b;c)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\).
Ta có:
\(\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 2;3)\); \((P) \supset AB \Rightarrow {\vec n_{(P)}}.\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow – a – 2b + 3c = 0 \Leftrightarrow a = – 2b + 3c\).
\((P):a(x – 1) + by + cz = 0 \Leftrightarrow (P):ax + by + cz – a = 0\).
\(d\left( {C;(P)} \right) = \frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \left| {b + c} \right| = 2\sqrt {{{\left( { – 2b + 3c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \)\( \Leftrightarrow 3{\left( {b + c} \right)^2} = 4\left( {5{b^2} – 12bc + 10{c^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} – 54bc + 37{c^2} = 0\),(1).
Với \(c = 0\), từ phương trình (1) suy ra \(b = 0,{\rm{ }}a = 0\) không thỏa mãn.
Với \(c \ne 0\), chia hai vế phương trình (1) cho \({c^2}\) ta được:
\(17{\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} – 54\left( {\frac{b}{c}} \right) + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{b}{c} = 1\\\frac{b}{c} = \frac{{37}}{{17}}\end{array} \right.\).
+/ Trường hợp \(\frac{b}{c} = 1\), chọn \(c = 1\)\( \Rightarrow b = 1,{\rm{ }}a = 1\).
Khi đó, ta có \((P):x + y + z – 1 = 0\), suy ra \((P) \cap Oy = M\left( {0;1;0} \right)\).
+/ Trường hợp \(\frac{b}{c} = \frac{{37}}{{17}}\), chọn \(c = 17\)\( \Rightarrow b = 37,{\rm{ }}a = – 23\).
Khi đó, ta có \((P): – 23x + 37y + 17z + 23 = 0\), suy ra \((P) \cap Oy = M\left( {0; – \frac{{23}}{{37}};0} \right)\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời