Câu hỏi:
(Chuyên Lam Sơn 2022) Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I(1;0;0)\), điểm \(M\left( {\frac{7}{9};\frac{4}{9};\frac{4}{9}} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = t}\\{z = 1 + t}\end{array}.N(a,b,c)} \right.\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) có giá trị bằng:
A. 2.
B. \( – 2\).
C. \(\frac{5}{2}\).
D. \(\frac{{ – 5}}{2}\).
Lời giải:
Ta có \(IM = \frac{2}{3}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên đường thẳng \(d\prime \) đi qua \(I,M\), ta có: \({S_{\Delta MMN}} = \frac{1}{2}IM \cdot NH = \frac{1}{3}NH\)
Diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài \(NH\) nhỏ nhất. \(N \in d \Rightarrow N(2;n;1 + n) \Rightarrow \overrightarrow {IN} = (1;n;1 + n).\)
Đường thẳng \(d\prime \) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {u\prime } = (1; – 2; – 2) \cdot \left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u\prime } } \right] = (2;n + 3; – n – 2)\).
\(NH = d\left( {N;d\prime } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u\prime } } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u\prime } } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{(n + 3)}^2} + {{( – n – 2)}^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {2{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{9}{4}} }}{3} \ge \frac{1}{2}.\)\(\)
Dấu = xảy ra khi \(n = – \frac{5}{2}\), suy ra: \(N\left( {2; – \frac{5}{2}; – \frac{3}{2}} \right)\). Vậy \(a + b + c = – 2\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời