(Sở Bạc Liêu 2022) Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\;{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(M\left( {1;3; – 1} \right)\), biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị \(T = 2a + b + c\) bằng

Câu hỏi:

A. \(T = \frac{{134}}{{25}}\).

B. \(T = \frac{{62}}{{25}}\).

C. \(T = \frac{{84}}{{25}}\).

D. \(T = \frac{{116}}{{25}}\).

Lời giải:

Chọn C

Ta có \(\left( S \right):\;{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9\)\( \Rightarrow I\left( {1; – 1;2} \right);\;R = 9\).

\(M\left( {1;3; – 1} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 5\).

Gọi \(A\) là một tiếp điểm nên \(AM = \sqrt {M{I^2} – I{A^2}} = \sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4\).

Mặt cầu tâm \(M\) bán kính \(AM = 4\) dạng \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\).

Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 3} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} = 16}\\{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {z – 2} \right)}^2} = 9}\end{array}} \right. \Rightarrow 4y – 3z + 1 = 0\).

Hay \(A \in \left( P \right):4y – 3z + 1 = 0\).

\(J\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Đường thẳng \(IJ\) dạng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y = – 1 + 4t}\\{z = 2 – 3t}\end{array}} \right.\).

\(J = IJ \cap \left( P \right) \Rightarrow J\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y – 3x + 1 = 0}\\{x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{y = – 1 + 4t\;\;\;\;\;}\\{z = 2 – 3t\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{{11}}{{25}}}\\{z = \frac{{23}}{{25}}}\end{array}} \right. \Rightarrow J\left( {1;\frac{{11}}{{25}};\frac{{23}}{{25}}} \right) = J\left( {a;b;c} \right)\).

Nên \(T = 2a + b + c = \frac{{84}}{{25}}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC