(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điếm \(A(2; – 1; – 1),B(0;1; – 2)\) và mặt phắng \((P):2x + y – 2z – 2 = 0\). Điếm \(M\) thuộc mặt phắng \((P)\) sao cho \(\widehat {AMB}\) Ión nhất, khì đó \(\cos \widehat {AMB}\) bằng
A. \(\frac{5}{{13}}\).
B. \(\frac{{12}}{{13}}\).
C. \( – \frac{{12}}{{13}}\).
D. \( – \frac{5}{{13}}\).
Lời giải:
Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chửa \(AB\) vả vuông góc với \((P)\); gọi \(d = (P) \cap (Q)\).
Gọi \(H = h/c(M,d) \Rightarrow \widehat {AMB} \le \widehat {AHB}\) đến đây các em có thể đưa về hàm một biến nhờ viết phương trình của \(d\), tham số hoá tọa độ điểm \(H\), tinh \(\cos \widehat {AHB}\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này hoặc sử dụng hình học như sau:
Để ý \(\overrightarrow {AB} ( – 2;2; – 1) \bot \overrightarrow {{n_P}} (2;1; – 2),A \notin (P) \Rightarrow AB//(P) \Rightarrow AB//d\).
Trong mặt phẳng \((Q)\) xét đường tròn qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(d\) tại \({M_0},\left( {{M_0}} \right.\) chính là giao điểm của đường trung trực đoạn \(AB\) với đường thẳng \(d\))
Nếu \(H \ne {M_0} \Rightarrow HB\) cắt đường tròn tại điểm \(N\) và \(\widehat {AHB} < \widehat {ANB} = \widehat {AM}B\) vậy \(\widehat {AH{B_{{\rm{max }}}}} = \widehat {A{M_0}}B\) không đổi. Dấu bằng đạt tại \(M \equiv H \equiv {M_0}\)
Ta có \(AB = 3,I{M_0} = d(A,(P)) = 1,{M_0}A = {M_0}B = \sqrt {I{A^2} + IM_0^2} = \sqrt {1 + \frac{9}{4}} = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\).
Khi đó \(\cos \widehat {A{M_0}B} = \frac{{{M_0}{A^2} + {M_0}{B^2} – A{B^2}}}{{2{M_0}{M_0}B}} = \frac{{\frac{{13}}{4} + \frac{{13}}{4} – 9}}{{2 \cdot \frac{{13}}{4}}} = – \frac{5}{{13}}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời