Câu hỏi:
(Đại học Hồng Đức – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2},\left( {{d_2}} \right):\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}\) và điểm \(A(4;1;2)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) cắt \({d_1}\) và cách \({d_2}\) một khoảng lớn nhất. Lấy \(\vec u = (a;1;c)\) là một véctơ chỉ phương của \(\Delta \). Độ dài của \(\vec u\) là
A. \(3\sqrt 5 \).
B. \(\sqrt {86} \).
C. \(\sqrt 3 \).
D. \(\sqrt {85} \).
Lời giải:.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \({d_2}\), khi đó \(\Delta \) nằm trên mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AH} \) là véctơ pháp tuyến.
Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chứa \(A\) và \(\left( {{d_1}} \right)\). Khi đó \(\Delta = (P) \cap (Q) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right]\).
Giả sử \(H(1 + t; – 3 + 2t;1 + 3t) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = (t – 3;2t – 4;3t – 1)\).
Ta có \(\overrightarrow {AH} \bot {\vec u_{{d_2}}},{\vec u_{{d_2}}} = (1;2;3) \Rightarrow t – 3 + 4t – 8 + 9t – 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AH} = ( – 2; – 2;2) \Rightarrow {\vec n_P} = (1;1; – 1)\).
Lấy \(N( – 1;1; – 2) \in \left( {{d_1}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AN} = ( – 5;0; – 4) \Rightarrow {\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},\overrightarrow {AN} } \right] = (4; – 2; – 5)\).
Suy ra \({\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = ( – 7;1; – 6) \Rightarrow |\vec u| = \sqrt {86} \).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời