(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cắt hình nón \(\left( N \right)\) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh \(S\) và tạo với trục của \(\left( N \right)\) một góc bằng \(30^\circ \), ta được thiết diện là tam giác \(SAB\) vuông và có diện tích bằng \(4{a^2}\).Chiều cao của hình nón bằng
A. \(a\sqrt 3 \).
B. \(2a\sqrt 3 \).
C. \(2a\sqrt 2 \).
D. \(a\sqrt 2 \).
Lời giải:
Chọn A
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(O\) là tâm của đường tròn đáy của hình nón, tam giác \(OAB\) cân đỉnh \(O\) nên \(OM \bot AB\) và \(SO \bot AB\) suy ra \(AB \bot \left( {SOM} \right)\).
Dựng \(OK \bot SM\) tại \(M\).
Theo trên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AB\\OK \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra góc tạo bởi giữa trục \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\widehat {OSM} = 30^\circ \).
Tam giác vuông cân \(SAB\) có diện tích bằng \(4{a^2}\) suy ra \(\frac{1}{2}S{A^2} = 4{a^2} \Rightarrow SA = 2a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SM = 2a\).
Xét tam giác vuông \(SOM\) có \(\cos \widehat {OSM} = \frac{{SO}}{{SM}} \Rightarrow SO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2a = \sqrt 3 a\).
Vậy chiều cao của hình chóp bằng \(a\sqrt 3 \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời