Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;4;2} \right)\), bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;4;2} \right)\), bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

A. \(9\sqrt 2 \). B. \(14\). C. \(6\sqrt 2 \). D. \(8\).

Lời giải

Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\), bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng 2, suy ra mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( {Oxy} \right)\).

\(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\), \(MN \subset \left( {Oxy} \right)\), suy ra \(MN\) đi qua \(A\).

Ta có \(A\left( {1;4;0} \right)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\left( {1;4;2} \right)\) trên \(\left( {Oxy} \right)\).

\(IA \bot \left( {OMN} \right) \Rightarrow \left( {IMN} \right) \bot \left( {OMN} \right)\). \(\Delta OMN\)vuông tại \(O\), nên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua trung điểm \(MN\) và nằm trên mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\). Suy ra tâm cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IMN\), nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IMN\) là \(R = \frac{7}{2}\).

Đặt \(AM = a,AN = b\) \(\left( {a,b > 0} \right)\).

Ta có \(\Delta ANK,\Delta MAH\)đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{AN}}{{NK}} = \frac{{MA}}{{AH}} \Leftrightarrow \frac{b}{{\sqrt {{b^2} – 1} }} = \frac{a}{4} \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^2} + 16{b^2}\) (1)

Mặt khác \(\sin \widehat {IMA} = \frac{{IN}}{{2R}} = \frac{{\sqrt {{b^2} + 4} }}{7},\sin \widehat {IMA} = \frac{{IA}}{{IM}} = \frac{2}{{\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Rightarrow \left( {{a^2} + 4} \right)\left( {{b^2} + 4} \right) = {14^2} \Leftrightarrow {a^2}{b^2} + 4{a^2} + 4{b^2} = 180\)  (1) 

\( \Rightarrow 5{a^2} + 20{b^2} = 180 \Rightarrow {a^2} = 36 – 4{b^2} \Rightarrow \left( {40 – 4{b^2}} \right)\left( {{b^2} + 4} \right) = {14^2}\)

\( \Rightarrow {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} = 24 \Rightarrow ab = 6\sqrt 2 \).

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.