Đề toán 2022 [ Mức độ 4] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,3;\,9} \right)\) bán kính bằng \(3\). Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox\), \(Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị \(AM.AN\) bằng
A. \(39\). B. \(12\sqrt 3 \). C. \(18\). D. \(28\sqrt 3 \).
Lời giải
+) Đặt \(M\left( {a;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;0;b} \right)\).
Nhận xét: \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( {Oxz} \right)\) mà \(MN \subset \left( {Oxz} \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\)
\( \Rightarrow MN\) tiếp xúc \(\left( S \right)\) tại tiếp điểm của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxz} \right)\) \( \Rightarrow A\left( {1;0;9} \right)\).
+) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {a – 1;\,\,0;\,\, – 9} \right)\\\overrightarrow {AN} = \left( { – 1;\,\,0;\,b – 9} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a – 1}}{{ – 1}} = \frac{{ – 9}}{{b – 9}}\)\( \Rightarrow \left( {a – 1} \right)\left( {b – 9} \right) = 9\).
+) Khi đó \(OIMN\)có \(\Delta OMN\) vuông tại \(O\), \(\left( {IMN} \right) \bot \left( {OMN} \right)\) (do \(IA \subset \left( {IMN} \right)\), \(IA \bot \left( {OMN} \right)\))
\( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \(OIMN\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IMN\) bằng \(\frac{{13}}{2}\)
Suy ra: \(\frac{1}{2}.3.MN = \frac{{IM.IN.MN}}{{4.\frac{{13}}{2}}} \Leftrightarrow IM.IN = 39\,\,\,\left( 1 \right)\).
Mà \(IM = \sqrt {{{\left( {a – 1} \right)}^2} + {3^2} + {9^2}} = \sqrt {{{\left( {a – 1} \right)}^2} + 90} \).
\(IN = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( {b – 9} \right)}^2}} = \sqrt {10 + \frac{{81}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \).
Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(\left[ {{{\left( {a – 1} \right)}^2} + 90} \right]\left[ {10 + \frac{{81}}{{{{\left( {a – 1} \right)}^2}}}} \right] = 1521\)\( \Leftrightarrow {\left( {a – 1} \right)^2} = 27\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{{\left( {a – 1} \right)}^2} + 81} = \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \\AN = \sqrt {1 + {{\left( {b – 9} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 3} = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AM.AN = 12\sqrt 3 \).
===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.
Trả lời