Đề toán 2022 [2D1-2.7-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} + 2a{x^2} + 8x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị.

Đề toán 2022 [2D1-2.7-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(a\) để hàm số \(y = \left| {{x^4} + 2a{x^2} + 8x} \right|\) có đúng ba điểm cực trị.

A. \(2\). B. \(6\). C.\(5\). D. \(3\).

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} + 2a{x^2} + 8x\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \,g\left( x \right) =  + \infty \).

\(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^3} + 2ax + 8 = 0\end{array} \right.\).

Suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị.

Ta có \(g’\left( x \right) = 4{x^3} + 4ax + 8\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a =  – \left( {{x^2} + \frac{2}{x}} \right)\) (vì \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(g’\left( x \right) = 0\)).

Xét hàm số \(h\left( x \right) =  – {x^2} – \frac{2}{x}\).

\(h’\left( x \right) =  – 2x + \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{ – 2{x^3} + 2}}{{{x^2}}}\)

\(h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra \(m \ge  – 3\).

Vậy có 3 giá trị nguyên âm của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.