Câu hỏi:
(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1;2;3} \right)\) và \(B\left( {3;2;5} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 2023\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\).
A. \(2\sqrt {17} \).
B. \(\sqrt {65} \).
C. \(25\sqrt {97} \).
D. \(205\sqrt {97} \).
Lời giải:
Chọn D
Hình chiếu vuông góc của \(A\left( { – 1;2;3} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(C\left( { – 1;2;0} \right)\).
Hình chiếu vuông góc của \(B\left( {3;2;5} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(D\left( {3;2;0} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;0;0} \right) \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {1;0;0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(CD\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\).
Để \(AM + BN\) nhỏ nhất thì hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi trên \(CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {3 + m;2;0} \right)\\N\left( {3 + n;2;0} \right)\end{array} \right.\).
Theo bài \(MN = 2023 \Rightarrow n – m = 2023\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {m + 4;0; – 3} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 9} \) và \(\overrightarrow {BN} = \left( {n;0; – 5} \right) \Rightarrow BN = \sqrt {{n^2} + 25} \).
Khi đó \(AM + BN = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 9} + \sqrt {{n^2} + 25} = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {m + 2023} \right)}^2} + 25} \).
Đặt \(f\left( m \right) = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 9} + \sqrt {{{\left( {m + 2023} \right)}^2} + 25} \).
Ta có \(f’\left( m \right) = \frac{{m + 4}}{{\sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + 9} }} + \frac{{m + 2023}}{{\sqrt {{{\left( {m + 2023} \right)}^2} + 25} }} = 0 \Leftrightarrow m = – \frac{{6089}}{8}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( m \right)\) bằng \(205\sqrt {97} \) đạt được tại \(m = – \frac{{6089}}{8}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ – VDC
Trả lời