Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(9;3;1)\) bán kính bằng 3. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox\), \(Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \((S)\),đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \((S)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

Đề toán 2022 Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I(9;3;1)\) bán kính bằng 3. Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox\), \(Oz\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \((S)\),đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{{13}}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \((S)\), giá trị \(AM.AN\) bằng

A. \(12\sqrt 3 \). B. 18. C. \(28\sqrt 3 \). D. 39.

Lời giải

Ta có \(d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = 3 = R \Rightarrow \left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) tại \(A \Rightarrow A\left( {9;0;1} \right)\)

\(M\left( {m;0;0} \right);N\left( {0;0;n} \right)\) với \(m.n \ne 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {m – 9;0; – 1} \right);\overrightarrow {AN}  = \left( { – 9;0;n – 1} \right)\)

Vì \(A,M,N\) thẳng hàng nên ta có 

Gọi \(\left( {S’} \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) nên \(\left( {S’} \right)\) có phương trình

\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\) có bán kính \(R’ = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = \frac{{13}}{2}\)

Vì \(I,M,N \in \left( {S’} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}18a + 6b + 2c = 91\\2a = m\\2c = n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6b = 91 – 9m – n\\2a = m\\2c = n\end{array} \right.\)

Ta có: \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = \frac{{13}}{2} \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} = {13^2} \Leftrightarrow 9{\left( {2a} \right)^2} + 9.{\left( {2c} \right)^2} + {\left( {6b} \right)^2} = {39^2}\)

Từ . Khi đó \(AM.AN = 12\sqrt 3 \).

Cách 2: (Thầy Nguyễn Duy Hiếu)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( {Oxz} \right)\)\( \Rightarrow \) \(H\left( {9;0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(IH = 3 = IA\) nên \(H\) trùng \(A\) \( \Rightarrow \) \(A\left( {9;0;1} \right)\)

Giả sử \(M\left( {2m;0;0} \right),N\left( {0;0;2n} \right)\).Vì \((IMN)//Oy\) nên \(\left( {IMN} \right):\frac{x}{{2m}} + \frac{z}{{2n}} = 1 \Leftrightarrow nx + mz = 2mn\).

\(\left( {IMN} \right)\) qua \(I\) \( \Rightarrow \) \(9n + m = 2mn\) \( \Rightarrow \)\((2m – 9)(2n – 1) = 9\)(1)

Ta có:\(\frac{{IM}}{{IA}} = \frac{{IJ}}{{IN}}\)\( \Rightarrow \) \(IM.IN = IJ.IA = 13.3 = 39\) (2)

mà \(I{M^2} = {(2m – 9)^2} + 10\) và \(I{N^2} = 90 + {(2n – 1)^2}\)

Từ (1)và (2) ta có \(\left[ {{{(2m – 9)}^2} + 10} \right]\left[ {90 + \frac{{81}}{{{{(2m – 9)}^2}}}} \right] = {39^2} = 1521\).Đặt \(u = {(2m – 9)^2} > 0\).

\( \Leftrightarrow \) \(90{u^4} + 540{u^2} + 810 = 0\)\( \Leftrightarrow \) \({u^2} = 3\).

Do đó \(A{M^2} = {\left( {2m – 9} \right)^2} + 1 = 4,\,A{N^2} = 81 + {(2n – 1)^2} = 108\). Vậy \(AM.AN = \sqrt {4.108}  = 12\sqrt 3 \)

=========== Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.